27. Интеграл типа Коши.

В ыражение где   - аналитическая функция на замкнутой области  ,

ограниченной положительно ориентированным контуром  , называется интегралом Коши. Если   лежит внутри  , то интеграл равен  , если же   лежит вне  ,то   - аналитическая функция на   и, следовательно, интеграл Коши равен нулю.

Пусть теперь   - любая кусочно-гладкая ориентированная кривая, не обязательно замкнутая, и   - непрерывная функция, определенная вдоль  . Выражение

                                 (1)

называется интегралом типа Коши. Оно представляет собой функцию  , определенную вне  .

Теорема 1. Интеграл (1) типа Коши есть аналитическая функция   для всех  .

Производная порядка   от   вычисляется по формуле

                  (2)

28. Логарифмический вычет. Принцип аргумента и теорема Руше.

Теорема 26. Интеграл равен деленному на приращению аргумента функции при однократном обходе ориентированной границы подобласти .

Доказательство. Запишем уравнение границы в параметрическом виде . Тогда имеем

Теорема доказана.

Теорема 27. (Руше) Если удается разложить на сумму , так что

₁₎ - голоморфная функция в ,

2) на границе области справедлива оценка или ,

то . Таким образом, вместо того чтобы решать задачу 2 для уравнения достаточно решить задачу 2 для уравнения .

29. Принцип максимума модуля. Лемма Шварца.

30. Теорема Монтеля (принцип компактности). Теорема Гурвица.

Теорема 34. (Принцип компактности) Из любой равномерно ограниченного внутри семейства голоморфных функций в области можно выделить равномерно сходящуюся на любом компакте из последовательность.

• Лемма 1. Из любой последовательности, подчиненной условиям теоремы 34, можно выделить сходящуюся в каждой точке наперед заданного счетного, всюду плотного в множества.

• Лемма 2. Равномерно ограниченное внутри семейство голоморфных функций равностепенно непрерывно внутри .

• Лемма 3. Если последовательность, удовлетворяющая условиям теоремы 34, сходится в каждой точке всюду плотного в множества, то она равномерно сходится на каждом компакте из .

Теорема 35. (Гурвиц) Пусть последовательность , голоморфных в области , равномерно на любом компакте из сходится к непостоянной функции . Тогда, если , то в любом круге все функции (при некотором ) обращаются в нуль.

Доказательство. Так как последовательность функции сходится равномерно к функции , то интеграл по произвольному треугольнику функции есть предел интегралов по тем же треугольникам последовательности . Такой предел равен нулю. Тогда по теореме Мореры предельная функция голоморфна на каждом компакте. Ясно, что ее нули изолированы. Возьмем проколотую окрестность ее нуля, где предельная функция не обращается в нуль. Найдем минимум модуля предельной функции на границе этой (уже не проколотой) окрестности. Ясно, что этот минимум отличен от нуля. Обозначим его через . Выберем номер так, чтобы выполнялось

Тогда по теореме Руше уравнения и в указанной выше окрестности имеют одинаковое число нулей. То есть имеет нули в указанной окрестности. Теорема доказана.