24. Изолированные особые точки многозначного характера

Точка называется изолированной точкой аналитической функции , если существует проколотая окрестность точки такая, что некоторый элемент , принадлежащий этой функции, продолжается вдоль любого пути из .

Пусть - изолированная особая точка аналитической функции и - вышеуказанная проколотая окрестность точки . Возьмем произвольный замкнутый контур из и содержащий точку внутри. Возможны два случая:

1)Если обход приводит к элементу, отличному от исходного, то точка называется особой точкой многозначного характера или точкой ветвления.

2)Если обход не меняет исходного элемента функции, то точка называется особой точкой однозначного характера.

В первом случае возможен вариант - -кратный обход приводит к исходному элементу. В этом случае точка называется точкой ветвления конечного порядка. Порядок ветвления – это минимальное из возможных .

Теорема 24. (Пюизё, 1850) В некоторой проколотой окрестности точки ветвления конечного порядка аналитическую функцию можно разложить в ряд по нецелым степеням

Доказательство. Замена позволяет точку ветвления порядка свести к особой точке однозначного характера. Дальше надо использовать разложение Лорана.

25. Основные элементарные многозначные функции.

Если То , поэтому

(37.8)

Тригонометрические функции Определяются формулами

Гиперболические функции Определяются формулами:

(37.9)

(37.10)

Логарифмическая функция Где Определяется как функция, обрат

ная показательной, причем

Эта функция является многозначной. Главным значением Называется такое значение, которое получается при >; оно обозначается через

(37.14)

Очевидно, что

(37.15)

Справедливы следующие равенства:

Обратные тригонометрические функции  определяются как функции, обратные соответственно функциям

Например, когда То Называется арксинусом числа И

Обозначается

Все эти функции являются многозначными; они выражаются через логарифмические функции следующими формулами:

(37.16)

(37.17)

(37.18)

(37.19)

26. Вычеты: определение, теорема Коши. Теорема о полной сумме вычетов.

Вычет функции в изолированной особой точке по определению равен значению интеграла взятого в положительном направлении по окружности достаточно малого радиуса с центром в изолированной особой точке этой функции. Обозначение: . В случае устранимой особой точки и полюса вычеты вычисляются по формулам:

1. , если - конечная устранимая особая точка,

2. , если - простой полюс,

3. , если - полюс порядка два,

4. , если - полюс порядка три,

5. , если - полюс порядка четыре и так далее.

Доказательство формулы 4 (остальные доказываются аналогично). Так как - полюс порядка три, то в окрестности справедливо разложение Лорана . Нам надо вычислить интеграл . Вместо подставим разложение Лорана и учтем результаты упражнения 14, тогда имеем . Таким образом, вычет в точности совпадает с одним из коэффициентов разложения Лорана. Найдем его .

Теорема 19. Вышеприведенный интеграл равен сумме внутренних вычетов подынтегральной функции, то есть

Доказательство. Вокруг каждой особой точки функции , лежащей внутри замкнутого контура , опишем окружность достаточно малого радиуса. Потребуем, чтобы они не пересекались между собой и не пересекали контур . Тогда по теореме 8 имеем

Здесь мы учли ориентацию маленьких окружностей. Теорема доказана.

Теорема 20. Если функция имеет только конечное число особых точек однозначного характера, то сумма всех вычетов этой функции равна нулю.