21. Ряд Лорана: теорема Лорана, правильная и главная части, теорема единственности, неравенства Коши.

Степенные ряды с целыми показателями степеней называются рядами Лорана. В качестве суммы ряда Лорана ряда можно взять один из пределов

Теорема 15. Голоморфная в открытом кольце функция разлагается в этом кольце в ряд Лорана.

Доказательство. Пусть функция голоморфна в кольце . По произвольной точке из кольца выберем числа так, чтобы . Тогда согласно ИФК имеем

Разложение в степенной ряд для дословно повторяет доказательство теоремы 9, так как в этом случае . Таким образом, Аккуратно запишем разложение в степенной ряд для .

Отсюда имеем соотношение .Теорема доказана.

2 2. Изолированные особые точки однозначного характера. Теорема Сохоцкого, теорема Пикара.

Изолированная особая точка в зависимости от количества слагаемых в главной части считается:

1. устранимой изолированной особой точкой, если главная часть отсутствует,

2. полюсом порядка , если главная часть содержит только конечное число слагаемых и - показатель наименьшей отрицательной степени в главной части,

3. существенно особой точкой, если в главной части бесконечно много слагаемых.

Примеры.

1. 

2. 

Если в окрестности полюса и устранимой особой точки поведение функции достаточно регулярно (существует предел), то совсем иначе устроена функция в окрестности существенно особой точки

Теорема 1. (Ю.Сохоцкий – Ф. Казорати) Если является существенно особой точкой функции , то для любого конечного или бесконечного найдется последовательность точек сходящаяся к особой точке и такая, что

Теорема 2. ( Э.Пикар, 1879) В любой окрестности существенно особой точки любая функция принимает все значения, за исключением, быть может, одного.

Доказательство теоремы 1. Так как в окрестности существенно особой точки функция неограниченна, то теорема верна при . Пусть теперь - конечное число. Предположим противное: найдется проколотая окрестность особой точки . функция не принимает значения . Введем функцию по формуле ограничена в окрестности особой точки. Чего не может быть, так как при таком построении сущесвенно особая точка не может стать устранимой особой точкой. Теорема доказана.

23. Целые и мероморфные функции: теорема Вейерштрасса и теорема Миттаг-Леффлера.

До сих пор мы изучали функции, которые являлись голоморфными в некоторой открытой части комплексной плоскости. Теперь исследуем свойства голомофных на всей комплексной плоскости. Голоморфная на всей комплексной плоскости функция называется целой функцией. Приведем некоторые свойства целой функции: 1) Разлагается в ряд Тейлора с бесконечным радиусом сходимости. 2) Нули изолированы без конечных предельных точек.