18. Нули в голоморфной функции и их кратность. Теорема единственности голоморфной функции.
Теорема 10. Разложение голоморфной функции в ряд Тейлора единственно.
Доказательство. Допустим , что в круге функция разлагается в ряды и . Надо показать, что . К примеру, . Точно также имеем . Дальше по индукции…Теорема 10 доказана.
Следствие 1 Голоморфная функция бесконечное число раз дифференцируема в области голоморфности.
Это следует из того, что таким свойством обладает сумма степенного ряда Тейлора.
Следствие 2.Производные голоморфной
функции имеют представления
и
так далее. Для обоснования достаточно
детально проанализировать доказательства
теорем 9 и 10.
Следствие 3 Пусть
- нуль кратности
голоморфной функции
,
тогда в некоторой окрестности точки
справедливо представление Безу
,
где
- голоморная функция, причем
Доказательство. Так как
,
то из разложения функции
в ряд Тейлора в окрестности точки
и следствия 2 имеем
.
Остается обозначить через
.
Следствие доказано.
Следствие 4 Нули голоморфной функции изолированы.
Это следует из следствия Безу. Так как
множитель
не может обращаться в нуль в некоторой
окрестности точки
.
Тогда произведение
в указанной окрестности может обращаться
в нуль только за счет первого множителя
,
который имеет изолированный нуль
.
Следствие 5 Нули голоморфной функции не могут иметь предельных точек, принадлежащих области голоморфности.
Доказательство. Предположим, что
существует сходящаяся последовательность
нулей
,
причем их предел
где
- область голоморфности функции
.
В силу непрерывности функции
имеем
,
что противоречит изолированности нуля
.
19. Аналитическое продолжение: принцип аналитического продолжения.
Факториал определен на натуральных
числах, то есть
.
Осуществим продолжение факториала,
следуя методу Коши.
1 шаг. Продолжение в полуплоскость.
Гамма-функция Эйлера при
задается несобственным интегралом
.
Покажем, что та же формула позволяет
продолжить гамма-функцию в область
.
Для этого надо доказать, что интеграл
сходится при
.
Это следует из оценок:
Итак, факториал корректно определен и для комплексных чисел.
2 шаг. Продолжение в вертикальную полосу. Следующие преобразования позволяют расширить область определения гамма-функции. При верны равенства
Итак, гамма-функция при представляет сумму трех функций
Область определения функции
есть
Область определения функции
есть
,
так как функция
ограничена на отрезке
Область определения функции
есть
Таким образом, сумма
определена на пересечении
.
Итак нам удалось расширить область
определения гамма-функции.
Можно продолжать намеченный процесс неограниченно долго. В результате имеем
Утверждение 5. Гамма- функция Эйлера
может быть продолжена на область
,
причем это продолжение представляет
голоморфную функцию.
20. Аналитическое продолжение через границу области: лемма о непрерывной продолжении, принцип симметрии Римана-Шварца. Аналитическая функция в смысле Вейерштрасса.
По Вейерштрассу следующий элемент строится с помощью разложения в ряд Тейлора предыдущего элемента.
П
усть
в области
определена функция
по формуле
.
Чтобы построить непосредственное
аналитическое продолжение элемента
выберем произвольно точку
и разложим в ряд Тейлора функцию
по степеням
.
В результате имеем
,
причем радиус сходимости
.
То есть надо выбирать
как можно дальше от единицы. Итак,
следующий элемент имеет вид
Ш
ире
не продолжить..