1. Поле комплексных чисел. Действительная и мнимая части, модуль и аргумент комплексного числа.

Комплексное число – это матрица специального вида . Для дальнейших рассуждений удобно преобразовать эту матрицу в виде линейной комбинации двух фиксированных матриц.

Единичная матрица принадлежит множеству , поэтому сответствует действительному числу и часто будем называть ее просто единицей. Вторая матрица совпадает с матрицей , которая введена в теореме 1 и в дальнейшем будет называться мнимой единицей.. Итак, справедливо

У тверждение 1. Произвольное комплексное число представляет собой линейную комбинацию единицы и мнимой единицы, то есть комплексное число имеет вид или просто . Надо помнить, что коэффициенты линейной комбинации действительные числа. Коэффициент при единице называется реальной частью комплексного числа, а коэффициент при мнимой единице – мнимой частью комплексного числа.

2. Формула Муавра, корень n-ой степени из комплексного числа. Расширенная комплексная плоскость.

Ко́мпле́ксная плоскость— это двумерное вещественное пространство , которое изоморфно полю комплексных чисел .

Сфе́ра Ри́мана — риманова поверхность, естественная структура на расширенной комплексной плоскости , являющаяся комплексной проективной прямой .

Результатом компактификации комплексной плоскости является расширенная комплексная плоскость — комплексная плоскость, дополненная бесконечно удалённой точкой, изоморфная комплексной сфере.

Стереографическая проекция — центральная проекция, отображающая двумерную сферу (с одной выколотой точкой) на плоскость.

3. Последовательности комплексных чисел и их пределы. Ряды комплексных чисел. Функции комплексного переменного: предел, непрерывность. (+смотреть вопрос 6)