Свойства

• теорема косинусов легко выводится с использованием скалярного произведения:

• Угол между векторами:

• Оценка угла между векторами:

в формуле   знак определяется только косинусом угла (нормы векторов всегда положительны). Поэтому скалярное произведение > 0, если угол между векторами острый, и < 0, если угол между векторами тупой.

• Проекция вектора   на направление, определяемое единичным вектором  :

,

• условие ортогональности^[2] (перпендикулярности) векторов   и  :

• Площадь параллелограмма, натянутого на два вектора   и  , равна

Неравенство Коши — Буняковского

Для любых элементов   и   линейного пространства со скалярным произведением выполняется неравенство

7

Векторное произведение двух векторов а и b - это операция над ними, определенная лишь в трехмерном пространстве, результатом которой является вектор со следующими свойствами:о

Онлайн калькулятор в самом низу !

http://www.dpva.info/Guide/GuideMathematics/linearAlgebra/vectorVectorsMultiplication/

Свойства

• Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов является равенство нулю их векторного произведения.

• Модуль векторного произведения   равняется площади   параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах   и   (см. Рисунок 1)

• Если   — единичный вектор, ортогональный векторам   и   и выбранный так, что тройка   — правая, а   — площадь параллелограмма, построенного на них (приведённых к общему началу), то для векторного произведения справедлива формула:

• Если   — какой-нибудь вектор,   — любая плоскость, содержащая этот вектор,   — единичный вектор, лежащий в плоскости   и ортогональный к  ,   — единичный вектор, ортогональный к плоскости   и направленный так, что тройка векторов   является правой, то для любого лежащего в плоскости   вектора   справедлива формула

• При использовании векторного и скалярного произведений можно высчитать объём параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a, b и c (см. Рисунок 2). Такое произведение трех векторов называется смешанным.

• Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов является равенство нулю их векторного произведения.

• Модуль векторного произведения   равняется площади   параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах   и   (см. Рисунок 1)

• Если   — единичный вектор, ортогональный векторам   и   и выбранный так, что тройка   — правая, а   — площадь параллелограмма, построенного на них (приведённых к общему началу), то для векторного произведения справедлива формула:

• Если   — какой-нибудь вектор,   — любая плоскость, содержащая этот вектор,   — единичный вектор, лежащий в плоскости   и ортогональный к  ,   — единичный вектор, ортогональный к плоскости   и направленный так, что тройка векторов   является правой, то для любого лежащего в плоскости   вектора   справедлива формула

• При использовании векторного и скалярного произведений можно высчитать объём параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a, b и c (см. Рисунок 2). Такое произведение трех векторов называется смешанным.

8

Смешанное произведение векторов — скалярное произведение вектора aна векторное произведение векторов b и с . Смешанное произведение векторов равно определителю матрицы, составленной из этих векторов.