6.4. Проводимость невырожденного и вырожденного электронных газов

Вернемся к выражению для плотности тока (6.2):

.

Определим теперь по статистическим правилам вычисления средних значений:

.

В это выражение подставим функцию из (6.13). Получим

. (6.15)

Интеграл разбиваем на два, причем интеграл от первого слагаемо­го равен нулю, так как связан с разновесной функцией распределения и не может дать вклада в проводимость. Вычисление интеграла от второго слагаемого дает

,

где — постоянная.

При этом проводимость кристалла

. (6.16)

Так как

,

то

. (6.17)

Выражение (6.17) позволяет сделать вполне определенные выво­ды относительно электропроводности невырожденного и вырожден­ного электронных газов. В случае невырожденного газа необходимо учесть, что и , его проводимость

. (6.18)

Здесь — концентрация электронов; — эффективная масса,

. (6.19)

Для подвижности невырожденного газа получим

; (6.20)

,

где — усредненная по всему кристаллу транспортная длина.

Для электропроводности вырожденного газа соответствующие выражения имеют вид

. (6.21)

куда входит время релаксации не всех электронов, а только тех, у которых энергия .

Физически различие между проводимостями невырожденного и вырожденного электронных газов заключается в том, что в проводи­мости невырожденного газа принимают участие все электроны, а в проводимости вырожденного газа — только электроны из размытия распределения Ферми (из полосы ( от ). Эти электроны поэтому и называют эффективными.

6.5. Температурная зависимость подвижности носителей

Если – среднее время релаксации, то обратная величина – вероятность релаксации. Если действуют несколько механизмов релаксации (фононный, примесный и др.), то по правилу сло­жения вероятностей или для подвижности

. (6.22)

Из полученных выражений вытекает необходимость раздельного рассмотрения подвижностей, обусловленных рассеянием на фононах и рассеянием на примесях. Так как

,

температурная зависимость будет определяться зависимостями , , и механизмом рассеяния.

Длина свободного пробега, обусловленная рассеянием на фоно­нах, очевидно, обратно пропорциональна концентрации фононов:

.

При ; при . Для рассеяния на примесях решающую роль играет концентрация примеси , которая не зависит от температуры, .

Рис. 6.3. Зависимость подвижно­сти электронов Рис. 6.4. Зависимость подвиж­ности электронов от от температуры в металлах температуры в полупроводниках

Если — число столкновений, необходимых для погашения ско­рости дрейфа, то характеризует относительную долю скорости, которая теряется при каждом столкновении, т. е. эффективность столкновений. Физически при определении эффективности столкновений решающее значение имеют

импульсы электрона и фонона. При низких температурах импульс фонона мал и растет пропорцио­нально : и гораздо меньше импульса электрона, который сравним с величиной , отвечающей границе зоны Бриллюэна. При столкновении импульс электрона может поэтому уменьшиться на малую величину, и при .

При высоких температурах импульс фонона становится сравни­мым с импульсом электрона, поэтому возможно уничтожение в од­ном столкновении и при .

Рассмотрим качественно рассеяние на примесях (принимаем во внимание только ионизированные примеси). Ион примеси, находя­щийся в решетке, создает вокруг себя ослабленное в е раз поле ( – диэлектрическая постоянная материала). Если траектория электрона проходит близко от иона, то направление движения носителя изме­няется, притом тем больше, чем больше время нахождения электрона в поле иона. Это время определяется скоростью носителя, поэтому . В невырожденном газе и . В вырожденном газе скорость носителей от температуры практически не зависит и постоянно.

Объединим полученные результаты (табл. 6.1).

Таблица 6.1

Параметры	Вырожденный газ (металлы)		Невырожденный газ (полупроводники)
	~T-3	~T-1		~T-3	~T-1
	~T-2	const		~T-2	const

Окончание табл. 6.1

	Вырожденный газ (металлы)		Невырожденный газ (полупроводники)
Параметры
	const	const	const	const
	const	const	~Т2	~Т2
	const	const	~Т2	~Т2
	~T-5	~T-1	Основное рассея­ние на примесях	~Т-3/2
	const	const	~Т3/2	Основное рассея­ние на фононах

В силу соотношения (6.22) определяющим видом рассеяния является тот, который обусловливает наименьшую подвижность. Графи­ки показаны на рис. 6.3 и 6.4.