6.2. Кинетическое уравнение Больцмана

Рассмотрим задачу: известно распределение электронов по энер­гиям в отсутствие поля; определить проводимость кристалла при включении внешнего электрического поля в зависимости от свойств кристалла и температуры.

Новизна проблемы состоит в переходе от изучения статистически равновесных систем к исследованию неравновесных коллективов, их кинетики. Во второй половине XIX в. Л.Больцман нашел решение проблемы, продемонстрировав при этом ее глубочайшее понимание и высочайшее математическое искусство. Найденное им кинетиче­ское уравнение нашло широкое применение во многих разделах фи­зики.

Если включить постоянное во времени внешнее электрическое поле, то благодаря процессам рассеяния частиц установится новое стационарное распределение электронов по энергиям, отличное от равновесного:

.

После выключения поля новое распределение из-за столкновений будет стремиться к . Этот процесс называют релаксацией.

В общем случае

. (6.8)

Так как процессы релаксации растянуты во времени, возьмем формальную производную функции (6.8):

,

но и , следовательно,

, (6.9)

где — оператор Гамильтона. Рассмотрим физический смысл входя­щих в (6.9) слагаемых:

— изменение распределения со временем в данной точ­ке фазового пространства;

— изменение распределения , связанное с пространственной диффузией частиц;

— изменение распределения за счет изменения импульса при воздействии внешних сил.

К чисто формальному математическому выражению (6.9) I Больцман добавляет дополнительное слагаемое, учитывающее внутренние столкновения частиц между собой,

,

где — дополнительный столкновительный член, обязанный наличию внутренних сил в системе частиц.

В статистической физике доказывается теорема Лиувилля:

.

Тогда

. (6.10)

Это и есть кинетическое уравнение Больцмана. Физическое содержание полученного уравнения: изменение функции распределения носителей в данной точке фазового пространства обусловлено тремя факторами – диффузией носителей, воздействием внешних сил и столкновениями.

6.3. Время релаксации. Длина свободного пробега

Решить в общем виде интегродифференциальное уравнение (6.10) не представляется возможным, поэтому в дальнейшем будем пользоваться следующими упрощениями:

1. внешнее поле постоянно по времени и пространстве, следовательно, установится новое стационарное распределение и ;

2. будем полагать, что задача пространственно однородна и ;

3. рассматриваем одномерный случай, внешнее поле направлено по оси .

При этих предположениях уравнение (6.10) упрощается:

. (6.11)

В случае слабых полей, когда , можно чисто формально записать столкновительный член в виде

, (6.12)

где через обозначено время релаксации. Чем меньше , тем быстрее система будет приходить в состояние равновесия. Из (6.11) и (6.12) следует, что

.

В слабых полях и можно заменить на . Окончательно в этом случае уравнение Больцмана выглядит так:

. (6.13)

В приближении (6.12) удобно ввести понятие длины свободного пробега носителей и выразить ее через время релаксации . Длиной свободного пробега называют путь, который проходит электрон ме­жду двумя последовательными столкновениями.

Предположим, что для того чтобы погасить скорость направлен­ного движения (скорость дрейфа), электрону нужно испытать столкновений. При этом он пройдет путь , который будем на­зывать транспортной длиной свободного пробега. Так как при этом скорость электрона была равной (напомним, что г, ■ г), то время, требуемое для полного погашения , равно . Разумно принять его за время релаксации .Строго говоря,

. (6.14)