6. Электропроводность твердых тел

6.1. Причины появления электрического сопротивления

В задаче 3.4 (гл. 3) требовалось указать причины, по которым ис­пользование понятия эффективной массы в сочетании со вторым за­коном Ньютона не может привести к тому, что скорость электрона, движущегося в слабом внешнем электрическом поле, может превы­сить скорость света. Если бы эти причины не существовали, приш­лось бы приписать кристаллам бесконечно большую проводимость или нулевое удельное сопротивление. На самом деле хорошо извест­но, что проводимость твердых тел конечна при обычных температу­рах (явление сверхпроводимости, наблюдающееся при крайне низ­ких , обсуждается в конце этой главы отдельно).

Можно указать на две причины разрешения кажущегося парадок­са, сформулированного в задаче 3.4. Первая: конечная проводимость кристаллов обусловлена тепловыми колебаниями решетки. Если бы ионы кристалла не принимали участия в тепловом движении, т. е. об­разовывали бы геометрически совершенную структуру, то рассеяние электронов на такой структуре было бы равно нулю. Но при повыше­нии температуры растет колебательная энергия решетки. Квантова­ние нормальных колебаний приводит к представлению о фононе. Концентрация фононов растет с увеличением температуры. Эти «квазичастицы» перемещаются по решетке, обладая определенной энергией и импульсом. Рассеяние электронных волн на нормальных колебаниях решетки можно рассматривать как столкновения двух частиц — электрона и фонона.

Второй причиной, также приводящей к появлению сопротивле­ния, является наличие в решетке примесей и дефектов. Этот неизбеж­ный фактор приводит к появлению в запрещенной зоне кристалла примесных центров, которые могут захватывать электроны с после­дующей делокализацией их в зону проводимости (рис. 6.1). Ясно, что этот процесс происходит в течение некоторого времени. Рассеяние электронов на примесях (дефектах) приводит к замедлению скорости движения электронов в электрическом поле, что и является второй причиной появления электрического сопротивления.

Р и с. 6.1. Примесные энергетические уровни Рис.6.2. К расчету под­вижности носителей

в запрещенной зоне полупроводника

Проводимость. Подвижность носителей. Закон Ома в дифференциальной форме связывает плотность тока j с напряженностью электрического поля :

, (6.1)

Коэффициент у есть проводимость кристалла: ; где — удельное сопротивление. Расчет проводимости металлов, собствен­ных и примесных полупроводников является целью этой главы.

Скорость электрона, движущегося в поле , удобно рассматривать в виде суммы двух скоростей: скорости теплового движения и ско­рости направленного перемещения в электрическом поле , называемой скоростью дрейфа. Для реальных значений напряженности , поэтому при определении полной скорости носителей со­ставляющей можно пренебречь.

Обозначим через среднюю скорость дрейфа электронов (одно­мерный случай). На рис. 6.2 представлен элемент объема кристалла, длина которого вдоль оси равна , две грани объема перпендикулярны оси . Тогда число электронов в выделенном объеме рав­но , где — концентрация электронов в единице объема. Ясно, что при этих условиях все электроны в единицу времени пересекут за­штрихованную грань. Полный заряд, переносимый ими в единицу времени или иксовая компонента плотности тока,

, (6.2)

где — заряд электрона. В общем случае

, (6.3)

Сопоставив (6.1) и (6.3), получим

, (6.4)

откуда следует, что прямо пропорциональна величине напряжен­ности электрического поля . Коэффициент пропорциональности принято называть подвижностью носителей

. (6.5)

Проводимость кристалла в этом случае определяется концентра­цией носителей и их подвижностью :

. (6.6)

В полупроводниках

, (6.7)

где и — концентрация и подвижность электронов; и — кон­центрация и подвижность дырок.

Физический смысл подвижности виден из (6.4): это скорость но­сителей в поле единичной напряженности. Задача об определении проводимости твердых тел сменяется задачей отыскания их подвиж­ности.