Свойства

• Диагональная матрица является симметричной:

D^T = D.

• Ранг диагональной матрицы равен количеству ненулевых элементов, находящихся на главной диагонали.

• Определитель диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов:

.

ХЗ КАК ПЕРЕПИСАТЬ КАНОНИЧЕСКУЮ ФОРМУ ЛЕКЦИЯ ЕСТЬ НО Я САМ МАЛО ЧЕГО ПОНИМАЮ В НИХ!!!!!

53. Понятие Евклидового пространства.

Евкли́дово простра́нство (также Эвкли́дово простра́нство) — в изначальном смысле, пространство свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность 3.

В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов определённых ниже. Обычно n-мерное евклидово пространство обозначается  , хотя часто используется не вполне приемлемое обозначение  .

1. Конечномерное гильбертово пространство, то есть конечномерное вещественное векторное пространство   с введённым на нём (положительно определенным) скалярным произведением, порождающим норму:

,

в простейшем случае (евклидова норма):

где   (в евклидовом пространстве всегда можно выбрать базис, в котором верен именно этот простейший вариант).

2. Метрическое пространство, соответствующее пространству описанному выше. То есть   с метрикой, введённой по формуле:

,

где   и  .

54. Теорема о превращении линейного пространства в Евклидово.

Теорема: любое n-мерное линейное пространство можно превратить в Евклидово.

Доказательство: {ē₁, ē₂, …, ē_N}

ẋ=x₁ē₁+x₂ē₂+…+x_Nē_N

ӯ=y1ē1+y2ē2+…+y_Nē_N

Введём скалярное произведение: (ẋ,ӯ)=∑(от i=1 до n)x_Iy_I=x₁y₁+x₂y₂+…+x_Ny_N

Все аксиомы выполняются, значит это Евклидово пространство

55. Понятие нормы вектора. Свойства нормы (в том числе н-во Коши-Буяновского, н-во треугольника)

Норма вектора: ||ẋ||=sqrt((ẋ,ẋ))

Свойства нормы:

1. ||ẋ||=|ẋ|

2. ẋ=(x₁

x₂

…

x_N)

(ẋ,ӯ)=∑(от i=1 до n)xiyi =>||ẋ||= sqrt(∑(отi=1 доn) x_I²)

3. С_[A,B]||ẋ||= sqrt(∫(от a до b)f²(t)dt)

4. Неравенство Коши-Буяновского

|(ẋ,ӯ)|≤||ẋ||*||ӯ||

5. Неравенство треугольника

||ẋ+ӯ||≤||ẋ||+||ӯ||

56. Понятие ортогональности векторов Евклидова пространства. Теорема о линейной независимости ортогональной системы векторов.

2 вектора ẋ и ӯ называются ортогональными, если их скалярное произведение =0

Пример:

ẋ = (0 ӯ=(1

1 0

1. 0)

(ẋ,ӯ)=0*1+1*0+1*0=0

Теорема: Всякая ортогональная система ненулевых векторов линейно независима (обратное неверно)

Доказательство:

Пусть ū₁, ū₂ … ū_n – ортогональны

с₁ū₁+с₂ū₂+… +с_nū_n=Ō

Домножим скалярно на ū₁, тогда с₁(ū₁,ū₁)+с₂(ū₂, ū₁)+… +с_n(ū_n, ū₁)=Ō, подчёркнутое =0 =>

с₁=0, тогда с₁, с₂, …, с_n=0 => векторы будут линейно независимы

57. Понятие ортонормированного базиса Евклидова пространства. Необходимое и достаточное условие ортонормированности данного базиса Евклидова пространства.

{ ē₁, ē₂, …, ē_N} – базис пространства E_nназывается ортонормированным, если (ē_i, ē_j)=1, при i=j,

(ē_i, ē_j)=0, при i≠j

Условие ортонормированности:

Базис пространства E_nс базисом {ē₁, ē₂, …, ē_N} являются ортонормированными тогда и только тогда, когда скалярное произведение векторов задаётся таким образом:

(ẋ,ӯ)=∑(от i=1 до n)x_Iy_I, где x_Iy_I– координаты вектора (ẋ,ӯ) в данном базисе, {ē₁, ē₂, …, ē_N} – ортонормированный базис