Угол между прямой и плоскостью

            Определение. Углом между прямой и плоскостью называется любой угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

                                                                                   

                                                                        

                                                                          

                                                                             

 

 

       Пусть плоскость задана уравнением , а прямая - . Из геометрических соображений (см. рис.) видно, что искомый угол  = 90⁰ - , где  - угол между векторами  и . Этот угол может быть найден по формуле:

В координатной форме:

Угол между двумя прямыми

     Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых

или

     Взаимное расположение прямой и плоскости

    Плоскость и прямая

     1) пересекаются

     2) прямая лежит в плоскости

     3) параллельны

     Если то случаи 1 - 3 имеют место, когда:

     1)

     2)

     3)

37. Точка пересечения прямой и плоскости.

Определение точки пересечения прямой и плоскости

Будем считать, что плоскость     задана точкой и двумя векторами и Прямая в пространстве задана двумя точками и (рис.1-1). Если точка является точкой пересечения плоскости и прямой , то ее координаты должны удовлетворять уравнению . С другой стороны, точка  принадлежит прямой : . Подставив в уравнение принадлежности точки к плоскости получим следующее: . Откуда следует, что:

38. Уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую.

Берём 2 точки на прямой затем

уравнение плоскости, проходящей через три точки:

 

39. Расстояние от точки до прямой (в пространстве)

Расстояние точки A(x₁, y₁) до прямой Ax + By + C = 0 есть длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Она определяется по формуле

Правило. Чтобы определить расстояние точки A(x₁, y₁) до прямой Ax + By + C = 0, нужно привести уравнение прямой к нормальному виду, взять левую часть полученного уравнения и подставить в нее вместо текущих координат координаты данной точки. Абсолютная величина полученного числа и даст искомое расстояние:

Расстояние от точки до прямой есть всегда величина положительная. Кроме расстояния от точки до прямой, рассматривается еще так называемое отклонение точки от прямой.

Отклонение данной точки от данной прямой есть расстояние от этой точки до прямой, которому приписывается знак плюс, если точка и начало координат находятся по разные стороны от прямой, и знак минус, если точка и начало координат находятся по одну сторону от прямой.

Расстояние от точки до прямой есть абсолютная величина отклонения этой точки от прямой.

40. Расстояние между скрещивающимися прямыми.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми

    В координатах

41. Поверхности второго порядка (основные типы)

Пове́рхностивторо́гопоря́дка, поверхности, декартовы прямоугольные координаты точек которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-й степени: a₁₁x² + a₂₂y² + a₃₃z² + 2a₁₂xy + 2a₂₃yz + 2a₁₃xz + 2a₁₄x + 2a₂₄y + 2a₃₄z + a₄₄ = 0     (*) Уравнение (*) может и не определять действительного геометрического образа, но для сохранения общности в таких случаях говорят, что оно определяет мнимую П. в. п. В зависимости от значений коэффициентов общего уравнения (*) оно может быть преобразовано с помощью параллельного переноса и поворота системы координат к одному из 17 приведённых ниже канонических видов, каждому из которых соответствует определённый класс П. в. п. Среди них выделяют пять основных типов поверхностей. Именно, 1) эллипсоиды  — эллипсоиды,  — мнимые эллипсоиды; 2) гиперболоиды:  — однополостные гиперболоиды,  — двуполостные гиперболоиды; 3) параболоиды (p> 0, q> 0):  — эллиптические параболоиды,   — гиперболические параболоиды; 4) конусы второго порядка:  — конусы,  — мнимые конусы; 5) цилиндры второго порядка:  — эллиптические цилиндры,  — мнимые эллиптические цилиндры,  — гиперболические цилиндры,  — параболические цилиндры. Перечисленные П. в. п. относятся к т. н. нераспадающимся П. в. п.; распадающиеся П. в. п.:  — пары пересекающихся плоскостей,   — пары мнимых пересекающихся плоскостей, х²= а² — пары параллельных плоскостей, х²= —а²— пары мнимых параллельных плоскостей, х²= 0 — пары совпадающих плоскостей. При исследовании общего уравнения П. в. п. важное значение имеют т. н. основные инварианты — выражения, составленные из коэффициентов уравнения (*) и не меняющиеся при параллельном переносе и повороте системы координат. Например, если  (a_ij = a_jii), то уравнение (*) определяет вырожденные П. в. п.: конусы и цилиндры второго порядка и распадающиеся П. в. п.; если определитель , то поверхность имеет единственный центр симметрии (центр П. в. п.) и называется центральной поверхностью. Если d = 0, то поверхность либо не имеет центра, либо имеет бесконечно много центров. Для П. в. п. установлена аффинная и проективная классификация. Две П. в. п. считают принадлежащими одному аффинному классу, если они могут быть переведены друг в друга некоторым аффинным преобразованием (аналогично определяются проективные классы П. в. п.). Каждому аффинному классу соответствует один из 17 канонических видов уравнения П. в. п. Проективные преобразования позволяют установить связь между различными аффинными классами П. в. п. Это объясняется тем, что при этих преобразованиях исчезает особая роль бесконечно удалённых элементов пространства. Например, эллипсоиды и двуполостные гиперболоиды, различные с аффинной точки зрения, принадлежат одному проективному классу П. в. п.

42. Понятие линейного пространства. Примеры л.п.