Метод округлений
В стандартном виде (2),(3) рассмотрим, например, следующую ПЦЗ:
(4)
Элементарными преобразованиями приведем ограничения G типа неравенства в (4) к условиям типа равенства. Тогда ПЦЗ в стандартной форме принимает вид
(5)
Графическим методом (Рис.1) устанавливаем оптимальное решение соответствующей ЗОО
.
(6)
Р
ис.1
Округление этого решения ЗОО до целочисленных значений дает лишь допустимое решение для ПЦЗ из области G
В действительности же оптимальное решение исходной ПЦЗ (4) имеет значение
,
(7)
что заметно отличается от предыдущих решений как по значениям переменных модели, так и целевой функции.
Метод гомори (Отсекающих плоскостей)
Рассмотрим особенности реализации этого метода для решения ПЦЗ (2),(3) на характерном примере (4).
Вначале задачу (4) приводим к форме с целочисленными коэффициентами, затем – к стандартной форме (5). Решаем соответствующую (5) «ослабленную» задачу, без учета ограничений . Применим для этого симплекс-метод[1,3], начальная таблица которого (на 0-ом шаге итераций) имеет вид:
Табл.1
N итерации |
Xi Базисные Переменные |
Значения |
Переменные Xj |
|||
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
|||
0 |
X3 |
25 |
1 |
1 |
1 |
0 |
X4 |
20 |
9 |
-1 |
0 |
1 |
|
-f |
0 |
10 |
-1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
X1 |
2 2/9 |
1 |
- 1/9 |
0 |
1/9 |
X3 |
22 7/9 |
0 |
1 1/9 |
1 |
- 1/9 |
|
-f |
-22 2/9 |
0 |
1/9 |
0 |
-1 1/9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
X1 |
4 1/2 |
1 |
0 |
1/10 |
1/10 |
X2 |
20 1/2 |
0 |
1 |
9/10 |
- 1/10 |
|
-f |
-24 1/2 |
0 |
0 |
- 1/10 |
-1 1/10 |
|
На 0,1-ых шагах итераций симплекс-таблицы1 в строках, содержащих значения –f и ее коэффициентов, ячейки, выделенные жирными границами, определяют столбцы новых базисных переменных Xj, которыми заменяем старые базисные переменные. При этом строки, содержащие ячейки с темной заливкой, указывают на Xi, исключаемые из базисного столбца. Видно, что уже на 2-ом шаге в столбце «Значения» определено оптимальное для ЗОО решение, совпадающее со значениями (6), полученными графически.
Далее методом Гомори, базируясь на последней итерационной симплекс-таблице, построим для i-ой базисной переменной условие целочисленности
(8)
Здесь множества
индексов базисных и свободных переменных
обозначены как
,
соответственно;
-
дробные части коэффициентов
i-ого уравнения
ограничений для Xi
базисной переменной из таблицы1,
выписанные из последней ее итерации
-2.
Преобразуя (8) в
условие типа равенства за счет введения
дополнительного и искусственного
переменных
,
получим уравнение отсекающей плоскости
(9)
Отсечение Гомори
типа (8) или (9) эффективнее строить для
такой i-ой базисной
переменной
из последней таблицы1, для которой
выполняется условие
(10)
В нашем примере (5) ЗОО на основе последней итерации Табл.1 определим в Табл.2 необходимые коэффициенты
Табл.2
i j |
i |
i |
ij |
|||
1 |
2 |
3 |
4 |
|||
1 |
1/2 |
5/2 |
0 |
0 |
1/10 |
1/10 |
2 |
1/2 |
5/8 |
0 |
0 |
9/10 |
- 1/10 |
С учетом таблицы1
первое условие (10) оказывается
не информативным, так как дает
,
а второе, принимая вид
,
указывает на целесообразность построения
отсечения Гомори для базисной переменной
с индексом i=1.
Т.о. из (9) в нашем
случае условие отсечения запишется как
.
Вводя новую целевую функцию
,
внесем все это в новую симплекс-таблицу,
использующую данные последней итерации
Табл.1:
Табл.3
СИМПЛЕКС-Таблица с учетом условия отсечения ГОМОРИ |
||||||||
N итерации |
Базисные Переменные |
Значения |
Переменные |
|||||
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
X5 |
X6 |
|||
3 |
X1 |
4 1/2 |
1 |
0 |
1/10 |
1/10 |
0 |
0 |
X2 |
20 1/2 |
0 |
1 |
9/10 |
- 1/10 |
0 |
0 |
|
X6 |
1/2 |
0 |
0 |
1/10 |
1/10 |
-1 |
1 |
|
-f |
-24 1/2 |
0 |
0 |
- 1/10 |
-1 1/10 |
0 |
0 |
|
- |
1/2 |
0 |
0 |
1/10 |
1/10 |
-1 |
0 |
|
4 |
X1 |
4 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
X2 |
16 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
9 |
|
|
X3 |
5 |
0 |
0 |
1 |
1 |
-10 |
|
|
-f |
-24 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
-1 |
|
|
- |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
Видно, что дальнейшее
увеличение значения целевой функции
не возможно. За два шага итераций
определили оптимальное полностью
целочисленное решение ПЦЗ (5)
,
анонсированное ранее в (7).