Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
chisla_otvety.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.03.2025
Размер:
198.18 Кб
Скачать

Блок-схема метода касательных

F

начало

(x0)*F”(x0)0

a, b, , m

F(x0)*F”(x0)0

+ -

x0:=b

x0:=a

x:=x0

y= х -

=

корень=, y,

погр.=, 

x:=y

y:=х -

=

конец



+ -

Билет №11 Программная реализация метода касательных

Programmet_kasat;

function f (t:real): real;

begin

f:=sin (2*t); {любая}

end;

function f1 (t:real): real;

begin

f1:=2*cos(2*t);

end;

function f2 (t:real): real; {2 произв.}

begin

f2:=-4*sin(2*t);

end;

var a, b, e, m, x, y, x0, d: real

begin

writeln (введите a, b, e, m); readln (a, b, e, m);

if f(a)*f2(a)0 then x0:=a

else x0:=b;

x:=x0;

y:=x-f(x)/f1(x)

d:=(abs(f(y))/m

while d0 do begin

x:=y

y:=x-f(x)/f1(x)

d:=(abs(f(y))/m

end

writeln (корень=, у, погр.=, );

end.

Билет №12 Численное решение нелинейных уравнений с одной переменной. Метод простой итерации

Метод простой интерации

Пусть уравнение имеет единственный корень на отрезке [a,b]. Заменим уравнение F(x) = 0 равносильным уравнением x = f(x) (2)

Пусть ڈ (Кси) =корень уравнения (2), а х0 полученное каким либо способом грубое приближение к корню кси. Подставляя х0 в правую часть уравнения (2) получим некоторое число х1=f(х0). Проделаем тоже самое с x1 и получим х2 = f(х1) и т.д. Последовательно применяя рекуррентное соотношение xn=

= f(xn-1) для n=1,2,…

образуем числовую последовательность х0, x1, х2, х3,...n,…(3)

Последовательность (3) называется последовательностью приближений или итерационной последовательностью. («итерация» - повторение).

Процесс построения итерационной последовательности имеет геометрическую интерпретацию.

Если последовательность 3 сходится, а функция f(x) непрерывна, то предел последовательности 3 является корнем уравнения 2.

Достаточные условия сходимости итерационного процесса выясняются следующей теоремой:

Теорема:

Пусть уравнение x=f(x) имеет единственный корень на отрезке [a;b] и выполнены условия:

1. f(x) определена и дифференцируема на этом отрезке

2. для всех x из отрезка [a;b] функция f(x) принадлежит [a;b]

3.существует такая правильная дробь q, что для всех x из отрезка [a;b] выполнено условие |f'(x)|<=q<1. Тогда итерационная последовательность xn = f(xn-1).N=1,2,…

Тогда итерационная последовательность сходится при любом начальном xnпринадлежащим[a;b].

Без доказательства

Замечание:

Условия теоремы не являются необходимыми, это означает, что итерационная последовательность (3) может оказаться сходящейся и при не выполнении этих условий.

Пусть уравнение x=f(x) решается методом простой итерации, причем результат должен быть получен с точностью . Критическим для прекращения является условие Δxn≤. (4)

Δxn= (5)

q- правильная дробь.

Замечание:

Важное свойство итерационных методов решения уравнений называется самоисправляемостью. Это означает, что если в процессе вычисления приближений допускались ошибки, то они не влияют на окончательный результат.

Билет №13 Алгоритм решения задачи методом простой итерации

Алгоритм решения уравнения методом простой итерации с точностью ε.

  1. Отделение корней. Используется графический метод.

За начальное приближение х0 берется любая точка [a;b].

  1. Приведение уравнения F(x)=0 к виду x=f(x) и проверка условий сходимости итерационного процесса – уравнение F(x)=0 можно привести к виду x=f(x) разными способами, однако, это должно быть сделано так, чтобы для функции f(x) выполнялись условия 1-3 теоремы.

Уравнение F(x)=0 может быть приведено к виду x=f(x) разными способами, однако это должно быть сделано так, чтобы выполнялись условия теоремы. Рассмотрим простейший способ такого преобразования.

Уравнение F(x)=0 преобразуем к виду x=x-m*F(x), где m – отличная от нуля константа. В этом случае f(x)=x-m*F(x).

f’(x)=1-m*F'(x)

Для того чтобы было | f’(x)|=| 1-m*F'(x)|<=q<1 lостаточно подобрать число m, так чтобы для всех x из [a,b] значением выражения m*F'(x) была положительная правильная дробь.

  1. Расчет (уже написали).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]