Методы Ньютона
Рассмотрим 2 метода Ньютона: метод касательных и метод хорд. Оба метода основаны на следующем приеме.
Пусть уравнение F(х)=0 имеет единственный корень на отрезке [a, b] (1)
Преобразуем его к равносильному уравнению х=х-(х)*F(x) (2),
где (х) – любая функция, определенная на отрезке [a, b] и не обращающаяся на нем в ноль.
Метод хорд (МХ)
x=х-(х)*F(c)
Пусть
φ(х)=
(1)
тогда
формула для метода хорд примет вид
х=х-
*F(x) (2)
xn=xn-1-
*F(xn-1) (3)
n=1, 2…
Функция F(x) удовлетворяет следующим условиям:
1) является дважды дифференцируемой на отрезке [a, b]
2) обе производные не меняют знак на этом отрезке, т.е. f(x) монотонна и не имеет характера выпуклости.
В качестве точкиС выбирается тот конец [a, b] , для которого выполняется условие F(c)*F”(c)0 (4)
В качестве х0 берется тот конец отрезка [a, b], который остался после выбора с.
F
(x0) F
(a) < 0, F (b) > 0, F”<
0
a (c)
F(c) ξ x1b(x0)
F
(a) > 0, F (b) < 0, F”
> 0
b(x0)
ξ x2 x1
a (c)
F
(a) > 0, F (b) < 0, F” < 0
ξ
a(x0) x1 b(c)
F (a) < 0, F (b) >0, F” >0
a(x0) ξ b(c)
Пусть уравнение х = х - * F(x) решается методом хорд, причем результат должен быть получен с точностью . Критерием прекращения вычисления при достижении заданной точности является условие:
хn≤ хn=
где m - min
|F(x)|
на [a, b]
Алгоритм решения уравнения методом хорд
1) выбор точки С F(c)*F”(c)0
2) выбор точки х0
3)
х1= х0 -
x1=
x1≤?
+: ответ х1, х1
-: 4
4)
х2=х1-
x2=
x2≤?
+: ответ х2, х2 -:
х3, …
Билет №7 Алгоритм решения задачи методом хорд
Блок-схема метода хорд
начало
a, b, , m
F(а)*F”(а)0
+ - 
с:=a
x0:=b
с:=b
x0:=a
x:=x0
y=х
-
* F(x)
=
корень=, y,
погр.=,
x:=y
y:=х – *F(x)
=
конец
+ -
Билет №8 Программная реализация метода хорд
Program PR1;
function f(t; real): real;
begin
f:=sin(2*t);
End;
Begin
Function f1 (t; real): real;
Begin
f1:=2*cos(2*t);
End;
Function f2 (t; real): real;
Begin
f2:=-4*sin(2*t);
End;
Var a, b, e, m, x, y, x0, d: real;
Begin
Writeln (введите a, b, e, m);
Readln (a, b, e, m);
if F(a)*F”(a)0 then begin
c:=a;
x0=b;
end;
else begin
c:=b;
x0:=a;
end;
x:=x0;
y:
= х –
*
F(x)
= (abs(f(y))/m;
While de do begin x:=y
y:=(x-(x-c)/(F(x)-F(c)))*F(x)
d:=(abs(F(y))/m;
Writeln (корень =, у, погр.=, d);
End.
Билет №9 Численное решение нелинейных уравнений с одной переменной. Метод касательных
Методы Ньютона
Рассмотрим 2 метода Ньютона: метод касательных и метод хорд. Оба метода основаны на следующем приеме.
Пусть уравнение F(х)=0 имеет единственный корень на отрезке [a, b] (1)
Преобразуем его к равносильному уравнению х=х-(х)*F(x) (2),
где (х) – любая функция, определенная на отрезке [a, b] и не обращающаяся на нем в ноль.
Метод касательных
Пусть (х)=1/F’(x) (3), тогда уравнение (2) примет вид:
x
=х -
- формула метода касательных
Итерационная последовательность х0, х1, х2, …хn строится с помощью рекуррентного соотношения
хn=хn-1
–
(4)
Вопрос о выборе начального х0 и гарантированной сходимости итерации решается просто, если F(x) удовлетворяет следующим условиям:
1. F(x) является дважды дифференцируемой на отрезке [a, b]
2. Обе производные не меняют знак на этом отрезке, т.е. F(x)монотонна и не имеет характера выпуклости.
В такой ситуации за х0берется тот конец [a, b], на котором F(x) и ее вторая производная имеют одинаковые знаки, т.е. выполняется условие
F(x0)*F(x0)0 (7)
Геометрическая интерпретация метода касательной (МК)
F”(x)0
F”(x)<0
F
(a) < 0, F (b) >0, F” >0
a ξ
x2
x1 b(x0)
F (a) < 0, F (b) > 0, F”< 0
a (x0) ξ b
F
(a) > 0, F (b) < 0, F”
> 0
ξ b
a
F
(a) > 0, F (b) < 0, F” < 0
b
a ξ
Пусть
уравнение х = х -
решается методом касательной, причем
результат должен быть получен с точностью
.Критерием для
прекращения вычисления является условие
хn≤
(5),
хn= (6)
где m = min |F(x)| [a, b] (6’)
F(x0)*F”(x0)0 (7)
x0 берется такая, что выполняется (7)
х=х0-
x1=
m
по формуле (6)
x1≤ ? +: х1 и x1
¯: х2=х1
-
х2=F(x2)
х2≤?
Билет №10 Алгоритм решения задачи методом касательных