Экзамены по численным методам
Билет №1 Основные этапы процесса решения задачи с помощью ЭВМ
Определение
Целей моделирования
Огрубление объекта
Поиск математического описания
Математическая модель
Выбор метода исследования
Разработка алгоритма и проги для ЭВМ
Отладка и тестирование проги
Расчет на ЭВМ
Анализ результатов
Уточнение модели
Конец работы
Исходный объект
Названия 5 основных этапов:
Моделирование (постановка задачи и построение математической модели)
Алгоритмизация (выбор метода и разработка алгоритма)
Программирование (запись алгоритма на языке понятном ЭВМ)
Реализация (отладка и использование проги на ЭВМ)
Интерпретация (анализ полученных результатов)
Практические задачи изначально связаны не с идеальными, а с реальными объектами: производственные процессы и явления природы, физические закономерности, экономические отношения и т.д. По этой причине решение задачи обычно начинается с описания исходных данных и целей на языке строго определенных математических понятий. Точную формулировку условий и целей решения называют еще математической постановкой задачи. Выделяя наиболее существенные свойства реального объекта, исследователь описывает их с/п (с помощью) математических соотношений. Это этап решения связан с математическим моделированием. Построение математической модели является наиболее сложным и ответственным этапом решения. Математическая модель может иметь вид управления, системы уравнений или быть выраженной в форме других сложных математических структур или соотношений.
В след за построением мат. (математической) модели исследователь разрабатывает (подбирает) метод решения задачи и составляет алгоритмы. Этап поиска и разработки алгоритма решения задачи в рамках заданной мат. модели называется алгоритмизацией. На этом этапе могут исп-тся (использоваться) любые подходящие средства представления алгоритмов: блок схема, таблицы, словесная. Во многих случаях в след за построением алгоритма выполняют так называемый контрольный просчет – грубую прикидку ожидаемых результатов, которые исп-тся затем для анализа решения.
На этапе программирования задачи записываются на языке понятном ЭВМ. В простейших случаях может оказаться, что на этом этапе не составляется новая программа для ЭВМ, а исп-тся имеющаяся ПО.После отладки и тестирования проги следует этап реализации – исполнение проги на ЭВМ и получение результатов решения.
Этап интерпретации – завершающий этап решения задачи, на котором происходит анализ результатов. На этом этапе осмысливаются полученные результаты, они сопоставляются с результатами контрольного просчета, а также с данными полученными экспериментальным путем. При этом одни результаты могут оказаться приемлемыми, а другие противоречащими смыслу реальной задачи, такие решения нужно отбросить. Высшим критерием пригодности полученных результатов, в конечном счете, является практика.
Билет №2 Численное решение нелинейных уравнений с однойпеременной. Графическое отделение корней.
Пусть имеется
урав-е (уравнение) вида
(1)
Где
– алгебраическая или трансцендентная
функция.
Решить такое уравнение это означает, установить имеет ли оно корни, сколько корней, с требуемой точностью. Решение указанной задачи, в общем, случаем начинается с этапа отделения корней. Отделить корень – означает, установить количество корней, а также наиболее тесные промежутки каждый из которых содержит тока 1 корень.
Грубое отделение корней во многих случаях можно произвести графическим методом. При этом задачу часто удается упростить, заменив уравнение (1) равносильным ему урав-м. f1(x) = f2(x) (2). В этом случае строятся графики ф-ций (функций) f1(x) и f2(x), а потом на оси Ox отмечаются по возможности наименьшие отрезки, локализующие абсциссы точек пересечения этих графиков.
Пример
1: Отделим корни урав-я графическим
методом:
.
З
аменим
это урав-е равносильным ему,
построим графики этих ф-ций.y
1 π
X
Ответ: единственный корень урав-я находится на отрезке [π /2; е]
Пример
2: задание аналогично
;
Y
π/2 π
X
Ответ: бесконечно много решений; [-1; 1]; [- π /2; -1]
Пример
3: 
Y
X
Ответ: единственный корень урав-я [-2; -1]
При решение задачи об отделение корней бывают полезными, следующие положения:
Если непрерывная на отрезке [a; b] ф-цияF(x) принимает на его концах значения разных знаков (т.е. F(a)*F(b)<0), то урав-е (1) имеет на этом отрезке, хотя бы 1 корень;
Если ф-цияF(x) к тому же еще и монотонна на [a; b], то корень единственный
Билет №3 Численное решение нелинейных уравнений с одной переменной. Метод половинного деления
Пусть уравнение F(x)=0 имеет на [a;b] единственный корень, причем функция F(x) на этом отрезке непрерывна.
Разделим отрезок [a;b] и пополам точкой с=(a+b)/2. Если F(c) =/=0, то возможны 2 случая:
либо F(x) меняет знак на [a;c], либо на отрезке [c;b].
Выбирая в каждом случае тот из отрезков, на котором функция меняет знак и продолжая процесс половинного деления дальше можно дойти до сколь угодно малого отрезка содержащего корень уравнения.
Метод половинного деления по-другому называют метод бисекции или дихотомии. Этот метод можно использовать как метод решения уравнения с заданной точностью. Если на каком то этапе процесса получен отрезок [a,b], содержащий корень, то приняв приближенно значение корня x = (a+b)/2 получим ошибку не превышающую ∆x=(b-a)/2 (2).
F(b)>0
F(c)
0
acbх
F(a)<0
Пусть нам дана точность ε=0.001. Процесс решения (половинного деления) продолжается до тех пор, пока не выполнится неравенство ∆х ≤ε (3)
∆х – половина отрезка АВ.
Билет №4 Алгоритм решения задачи методом половинного деления
начало
a,b,c
F(a)*F(c)< 0
+ -
b:=c
a:=c
Δ =
∆≤ε
- +
‘Корень =’, c, ‘ с точностью ∆х =',∆
конец
Билет №5 Программная реализация метода половинного деления
Program PI38;
Function f (z: real): real;
Begin
f:=sin (sgr(z));
End;
Var a,b,c,d,e: real;
Begin
Writeln (‘введитеотрезок [a; b]');
Readln (a,b);
Writeln (‘введитеэпсилоне’);
Readln (e);
Repeat
c:=(a+b)/2;
If F(a)*F(c)<0 then b:=c else a:=c;
d:=(b-a)/2;
Until d<=e;
Writeln (“Корень =”, с, “c точностью Δx = “, d);
Readln;
End.
Билет №6 Численное решение нелинейных уравнений с одной переменной. Метод хорд