Дисконтирование (учет)

 До сих пор рассматривалась процедура наращения: выданная ссуда Р с течением времени наращивалась процентами и превращалась в ссуду с процентами S. Ставка наращения определялась отношением процентов за год I к ссуде Р. В банковском деле применяется также процедура дисконтирования (учета), которая появилась из операции учета векселей. Вексель – обязательство вернуть указанную в векселе сумму (номинал векселя, обозначим его S), в указанный срок. Если держатель векселя (его собственник в данный момент) желает обменять вексель на деньги, он обращается в банк с предложением учесть имеющийся у него вексель, т.е. купить его за сумму Р, меньшую, чем номинал S. Такая сделка называется дисконтированием, а сумма скидки с номинала – дисконтом.

Обозначим:

S – номинал векселя;

1 год – срок действия векселя;

D – дисконт, т.е. скидка с номинала при учете векселя;

Р – цена векселя, т.е. сумма денег, которую получит продавец векселя при его учете.

D = S-P или P = S-D.

Обозначим: d – учетная ставка,

.

Еще одно отличие процедур учета и наращения. При наращении ставка i считается на величину ссуды Р, а при дисконтировании учетная ставка d считается на номинал векселя S.

Сопоставим :

Эта формула справедлива при годичном сроке векселя. Пусть срок действия векселя n лет, где n – неотрицательное число, в том числе дробное. Формула для расчета Р примет вид: P = S(1-nd). Видно, что n и d могут быть такими, что может оказаться nd > 1 и Р станет меньше нуля. Это, конечно же, невозможно: никто не согласится отдать вексель, да еще уплатить за это сумму, равную S(nd-1). Поэтому дисконтирование применяют так, чтобы было 1 > nd > 0.

Номинальная и реальная ставки процента

Пусть ссуда P выдана под ставку процента i на год. Через год нужно вернуть эту ссуду с процентами S=P(1 + i). Если имеет место инфляция с темпом j, то за год величина S обесценится.

Обозначим:

S_н – номинальная ссуда с процентами;

S_р – реальная ссуда с процентами, т.е. покупательная способность S_н;

r – реальная ставка процента;

i – номинальная ставка процента;

j – темп инфляции.

С учетом принятых обозначений, формулы наращения примут вид:

S_н = P(1 + i);

S_P = P(1 + r);

S_н = S_P (1 + j) = P(1 + r)(1 + j).

Последнюю формулу нужно понимать так: ссуда Р за год реально выросла по ставке r и за счет инфляции по темпу инфляции j. Вместо S_н подставим ее значение:

P(1 + i) = P(1 + r) (1+ j) или (1 + i) = (1 + r)(1 + j)

Произведя преобразования, получим:

Это точная формула расчета реальной ставки процента по известным величинам номинальной ставки процента и темпу инфляции. При низких темпах инфляции применяют приближенную формулу r = i - j. При значительной инфляции нужно применять точную формулу.

Задача 3 Контракт предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год – 25%, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 11%. Необходимо определить множитель наращения за 2,5 года. Решение: При установлении переменной процентной ставки наращенная сумма определяется по формуле: Выражение в скобках и представляет собой множитель наращения. Рассчитаем его: 1 + 1*0,25 + 0,5*0,36 + 0,5*0,47 + 0,5*0,58 = 1,955 Таким образом, по данному контракту наращенная сумма будет в 1,955 раза больше первоначальной.

Задача 4 На сумму 10 млн. руб. начисляется 10% годовых. Проценты простые, точные. Какова наращённая сумма, если операция реинвестирования проводится ежемесячно в течение первого квартала, и какова наращенная сумма, если операция реинвестирования не проводится? Решение: Иногда прибегают к начислению процентов на уже наращенные в предыдущем периоде суммы, т.е. происходит многоразовое наращение, именуемое реинвестированием, или капитализацией процентного дохода. В этом случае итоговая наращенная сумма определится по формуле: В нашем случае наращенная сумма за квартал составит: S = 10* (1 + (30/365) *0,1) * (1 + (30/365) *0,1) * (1 + (30/365) *0,1) = 10,249 млн. руб. Если операция реинвестирования не производится, то наращенная сумма составит: S = 10* (1 + (90/365) *0,1) = 10,246 млн. руб.