Задачи на простые проценты

Задача 1. Банк концерна "А" с целью оказания финансовой помощи выдал ссуду 10 млн. руб. дочернему предприятии под 20% годовых сроком на 3 года. Проценты простые. Определить сумму возврата ссуды и доход банка. Решение: Сумма наращения денег по простым процентам S = P (1 + ni), где P - сумма кредита; n - срок кредита, лет; i - процентная ставка. Таким образом, сумма возврата ссуды составит: S = 10 (1 + 3*0,2) = 16 млн. руб. Доход банка - разность между суммой выдачи и суммой возврата (т.е. величина процентов по ссуде): 16 - 10 = 6 млн. руб.

Задача 2. Определить проценты и сумму накопленного долга, если ссуда равна 7 млн. руб., срок долга - 4 года по ставке простого процента, равной 10% годовых. Решение: Сумма наращения денег по простым процентам S = P (1 + ni), где P - сумма кредита; n - срок кредита, лет; i - процентная ставка. Таким образом, сумма накопленного долга составит S = 7 (1 + 0,1*4) = 9,8 млн. руб. Сумма процентов J = S - P = 9,8 - 7 = 2,8 млн. руб.

5.2. Сложные проценты

Если ссуда выдана на некоторый срок и проценты начисляются один раз в конце этого срока, то простые и сложные проценты не различаются, наращенная ссуда будет одной и той же. Эффект сложных процентов возникает тогда, когда срок ссуды разбит на несколько интервалов, в конце каждого интервала начисляются проценты и присоединяются к сумме, накопленной на начало интервала.

Простые проценты начисляются на начальную величину ссуды, сложные – на ссуду с наращением на момент начисления процентов. На рис 5.2.1 показана схема начисления процентов, когда ссуда выдана на целое число лет, а сложные проценты начисляются раз в год.

Обозначим:

Р – ссуда;

j – годовая ставка сложных процентов;

n – номер года;

S_n – наращенная ссуда в конце года n;

S₁=P( 1+j);

S₂=S₁(1+j)=P(1+j)²­­­­­­­.

По индукции:

S_n=P(1+j)ⁿ­.

Формула выведена для целого n, но она справедлива для любого не отрицательного действительного числа n.

- за полгода

– за квартал

Формула выведена для целого n, но она справедлива для любого не отрицательного действительного числа n. Напр., за полгода , а за квартал .

В банковской практике начисление сложных процентов по депозитам производится несколько раз в год – за месяц, квартал, полугодие. При этом по ставке за интервал нужно вычислять годовую доходность и наоборот,  по годовой ставке процента определять эквивалентную по доходу ставку на интервал менее года.

Обозначим:

m – число интервалов в году;

t – номер интервала;

Р – ссуда;

S_t – ссуда с наращением в конце интервала t;

j – годовая эффективность ссуды;

g – ставка сложных процентов на интервал.

Чтобы ставки j и g были равноэффективны, необходимо, чтобы выполнялось равенство:

P(1+j)=P(1+g)^m;

или

(1+j)=(1+g)^m.

Отсюда по ставке процента за интервал можно вычислить равноэффективную ставку за год.

j=(1+g)^m – 1.

И наоборот, – по годовой ставке процента можно вычислить равноэффективную ставку сложных процентов за интервал.