Расчет процентов. Виды процентных ставок.

Под финансовой математикой понимаются модели и алгоритмы финансовых расчетов. Базовая финансовая операция – кредитование. Субъекты рынка заключают сделку: кредитор выдает заемщику ссуду с условием, что в установленный срок заемщик вернет кредитору ссуду с наращением (процентами). Ситуация в простейшем случае, когда ссуда выдана на год, показана на рис.5.1.

Обозначим:

P  ссуда;

S – ссуда с наращением ( с процентами);

I – процент;

I = S – P;

i = = – годовая ставка процента, в данном случае ставка наращения.

Обратим внимание на некорректность названия величины I – «процент». На самом деле I – это величина наращения ссуды и измеряется в денежных единицах, а не в процентах. Но такова традиционная терминология финансовых операций: сумма наращения называется процентом или процентами.

Обычно при кредитовании предметом договора являются величина ссуды P и годовая процентная ставка i , а ссуда с наращением S является функцией P и i. Выразим S через P и i. S = P(1 + i ). Приведенная формула для S справедлива только при годовом сроке ссуды. Для любого другого срока в формулу нужно ввести время. Традиционно в финансовых расчетах время измеряется в годах, а процентная ставка берется годовая, хотя возможны и другие измерители времени – квартал, месяц, день, на которые может устанавливаться ставка. Все эти условия оговариваются в договоре о предоставлении кредита. Ссуда может выдаваться на любой срок, с любой даты, по любую дату. Первый и последний дни обычно считаются за один день. В разных странах и даже в разных банках одной страны срок ссуды в годах исчисляется по-разному.

Обозначим:

t – срок ссуды в днях;

T – количество дней в году;

n = – срок ссуды в годах.

Величины t и T могут определяться точно по календарю, либо приближенно (округленно). В последнем случае принимается, что год состоит из 12 месяцев по 30 дней в каждом из них. Первый способ обозначается (365/365), а второй  (360/360). Возможны и перекрестные способы. В любом случае при получении ссуды нужно предварительно убедиться, каким способом определяется срок ссуды, т.к. от этого зависит величина процентов.

Величина процентов зависит от величины ссуды, процентной ставки и срока ссуды. Различают простые и сложные проценты. Простыми называют проценты, которые являются линейной функцией от времени. Сложные проценты являются показательной функцией от времени, где время входит в показатель степени.

5.1. Простые проценты

Выше была приведена формула наращения для случая, когда ссуда выдана точно на год: S = P(1 + i) . Выведем формулу наращения для произвольного срока ссуды, измеренного в годах (рис.5.1.1).

S₁, S₂, S₃ – ссуда с наращением за 1, 2 и 3 года соответственно.

S₁ = P(1 + i) = P + Pi = P + I_1.

Применим метод индукции.

S₂ = P(1 + 2i) ; S₃ = P(1 + 3i). Очевидно, что за n лет S_n = P(1 + ni).

I_n = Pni – проценты за n лет.

Видно, что проценты являются линейной функцией времени.

Формулы для вычисления S_n и I_n были выше написаны для целого числа лет n. Очевидно, что они справедливы и для дробных значений n как меньше, так и больше 1. Напр., нужно вычислить проценты за месяц по приближенному методу (360/360). Тогда n= и I_мес. = Pi/12. Соответственно проценты за день по методу (360/360) равны Pi / 360. Во всех формулах i – годовая ставка процента.

Переменная ставка

 

При значительных сроках ссуды иногда применяют переменную ставку – напр., когда предполагают изменение темпа инфляции в будущем. Выведем формулу для наращенной ссуды для этого случая.

Обозначим:

t = 1,...,m – номера временных интервалов с различными процентными ставками;

n_t – продолжительность t–го интервала в годах;

i_t – годовая ставка наращения в t–ом интервале.

S = P (1 + n₁i₁ + ... + n_mi_m) = P (1 + ).

Возврат ссуды по частям

 

Возврат ссуды с процентами может осуществляться один раз в конце срока ссуды, либо частями в течение этого срока. В последнем случае необходимо рассчитывать величину последнего платежа. Для этого используют два метода: актуарный и торговца.

Обозначим:

Р – ссуда;

t = 1,...,m – номера платежей;

n_t – срок t-го платежа в годах от момента получения ссуды;

n – срок ссуды;

i – годовая ставка наращения;

S_t – сумма долга, накопленная к t-му платежу;

R_t – величина t-го платежа;

P_t – остаток долга после t-го платежа.

Формулы для вычислений:

S_t = P_t-1(1 + ( n_t – n_t-1) i );

P_­t = S_t - R_t.

Вычисляя все величины последовательно от t = 1 до m, определяем величину последнего платежа : R_m = S_m = P_m-1 ( 1 + (n – n_m-1) i).

В любой момент накопленный долг состоит из двух частей: оставшаяся не возмещенной часть ссуды Р и накопленные и непогашенные проценты. Если очередной платеж меньше накопленных и непогашенных процентов, то уменьшение суммы долга не производится, а сумма платежа присоединяется к следующему платежу.

Обозначим:

Р – ссуда;

t = 1,...,m – номера платежей;

n_t – срок t-го платежа в годах от момента получения ссуды;

n – срок ссуды;

i – годовая ставка наращения;

S_t – сумма долга, накопленная к t-му платежу;

R_t – величина t-го платежа;

P_t – остаток долга после t-го платежа.

Формулы для вычислений:

S_t = P_t-1(1 + ( n_t – n_t-1) i );

P_­t = S_t - R_t.

Вычисляя все величины последовательно от t = 1 до m, определяем величину последнего платежа : R_m = S_m = P_m-1 ( 1 + (n – n_m-1) i).

В любой момент накопленный долг состоит из двух частей: оставшаяся не возмещенной часть ссуды Р и накопленные и непогашенные проценты. Если очередной платеж меньше накопленных и непогашенных процентов, то уменьшение суммы долга не производится, а сумма платежа присоединяется к следующему платежу.

Метод торговца:

Обозначим:

P – ссуда;

S – ссуда с процентами, S = P(1 + ni);

n – срок ссуды;

t = 1,...,m – номера промежуточных платежей;

R_t – величина t-го промежуточного платежа;

n_t ­– срок t-го промежуточного платежа;

R – заключительный платеж.

Идея метода торговца заключается в следующем. Пусть в срок n_t осуществлен промежуточный платеж R_t. На оставшееся до конца срока ссуды время, равное (n-n_t), начисляются проценты, и к концу срока ссуды сумма промежуточного платежа с процентами составит:

S_t = R_t ( 1 + (n – n_t) i ).