Лекция 6. Экстремум функции двух переменных

Точка называется точкой максимума (минимума) функции z =f(x, у), если существует окрестность точки М, такая, что для всех точек (х, у) из этой окрестности выполняется неравенство

Если в точке максимума или минимума обе частные производ­ные существуют и непрерывны, то они равны нулю в этой точке (не­обходимое условие экстремума).

Если в точке обе частные производные обращаются в нуль, то характер этой точки определяется величиной где

При имеется экстремум (максимум при А < О и минимум при А > 0).

При функция в данной точке не имеет экстремума.

При вопрос о наличии экстремума остается открытым (дос­таточное условие экстремума).

При исследовании функции на экстремум рекомендуется поль­зоваться следующей схемой:

Найти частные производные и Решить систему уравнений , и найти критические точки функции.

Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в каждой критической точке и с помощью достаточного ус­ловия сделать вывод о наличии экстремумов.

Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

Лекция 7. Условный экстремум функции двух переменных

Точка называется точкой условного максимума (мини­мума) функции z = f(x, у), при условии g(x, у) = С, если существует такая окрестность этой точки, что во всех точках (х, у) из этой окрест­ности, удовлетворяющих условию g(x, у) = С, выполняется неравенство

Уравнение g (x, y) = C называется уравнением связи.

Точка условного экстремума является точкой экстремума функции Функция L называется функцией Лагранжа, а Х — множителем Лагранжа.

1 Использованы справочные материалы из ОЛ, [2].