Лекция 2. Соответствия. Отношения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Соответствием между множествами X и Y называется подмножество декартова произведения X и Y. При этом множество X называют областью отправления соответствия, а множество Y - областью прибытия.

Соответствия между множествами принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита: R, S, Т и т.д.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Областью определения соответствий R называется множество тех элементов области отправления, которым соответствуют некоторые элементы области прибытия. Множеством значений соответствия R называется множество тех элементов области прибытия, которые поставлены о соответствие некоторым элементам области отправления.

Для соответствий, как и для любых других множеств, существует .два способа их .задания:

1. перечислением элементов;

2. указанием характеристического свойства элементов.

Графом соответствия называют рисунок, состоящий из точек, изображающих элементы области отправления и области прибытия, и стрелок, направленных от элементов области определения к элементам множества значений.

ПРИМЕР 1. Пусть X={3, 2, 5, 7}, Y={1,2, 4, 6}. Выпишем все элементы множества X  Y:

X Y={(3,1), (3,2), (3,4), (3, 6), (2,1), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (5,1), (5,2), (5, 4), (5, 6), (7, 1), (7, 2), (7,4), (7, 6), (9,1), (9,2), (9,4), (9,6)}.

Если из всех пар множества X  Y выписать лишь некоторую часть, то этим задается некоторое соответствие R. Пусть, например, R={(3,4),(3,6),(2, 4),(2, 6), (5, 6). Это же со­ответствие можно задать с помощью графа:

Рис. 1

Для соответствий между числовыми множествами, конечными и бесконечными, можно указать еще один способ их задания - графический.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Соответствие между множе­ствами X и Y называется отображением множества X на множество Y, если каждому элементу множества X сопоставляется единственный элемент множества Y.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Соответствие между множе­ствами X и Y называется взаимно однозначным, если каждому элементу множества X сопоставляется единственный элемент множества Y и каждый элемент множества Y сопоставляется единственному элементу множества X.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Множества X и Y назы­ваются равномощными, если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие. При этом пишут: X ~ Y.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Множества, равномощные множеству N, называются счетными.

Счетными, например, являются множества N₂, Z, множества нечетных натуральных чисел; чисел, кратных 5; квадратов натуральных чисел и др.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Соответствие R^-1 называ­ется обратным к R, если каждому элементу из его области отправления соответствуют те элементы его области прибы­тия, которым он сопоставлялся при соответствии R

Если в соответствии R есть пара (х, у), то можно записать: xRy. С учетом этого обозначения, по определению 7, соответствие R^-1 есть обратное к R соответствие, если y R^-1x xRy.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Пусть RXY. Соот­ветствие R^/ называется противоположным соответствию R, если оно является дополнением R до XY.

ПРИМЕР 2. Для соответствия R из примера 1 обратным соответствием является соответствие R^-1 = «х больше у» (R^-1 = {(4, 3), (6, 3), (4, 2), (6, 2), (6, 5)}), а противоположным - соответствие R^/ = «х не меньше y» (R/ = {(3,1), (3, 2), (2, 1), (2, 2), (5,1), (5, 2), (5, 4), (7, 1), (7, 2), (7, 4), (7, 6), (9,1), (9, 2), (9: 4), (9, 6)}).

0ПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Отношением на множестве A называется всякое подмножество декартова произведения A A.

Таким образом, отношение есть соответствие между элементами одного и того же множества.

Отношения, как и соответствия, обозначают заглав­ными буквами латинского алфавита: R, Q и т.д. Если элементу x A в некотором отношении R соответствует элемент y A, то говорят, что x находится в отношении R с элементом y и пишут: xRy.

Способы задания отношений те же, что и способы задания соответствий:

1. перечислением элементов;

2. указанием характеристического свойства элемен­тов;

3. графический (для отношений между элементами числовых множеств).

Перечисление элементов может производиться ука­занием всех пар, находящихся в отношении, построением табли­цы или графа отношения.

Граф отношения выглядит несколько иначе, чем граф соответствия: отмечают точками элементы множества A (эти точки называют вершинами графа), а стрелками показывают, какие элементы находятся в этом отношении (стрелки называют ребрами графа).

Стрелка, у ко­торой начало и конец совпадают, называется петлей.

ПРИМЕР 3. Зададим какое-либо отношение R на множестве A = {4, 5, 6,12,10}. Пусть, например, R = {(4, 4), (5, 5), (6, 6), (12,12), (12, 4), (12, 6), (10,10), (10, 5)}. Мы задали отно­шение R перечислением его элементов. Это же отношение мож­но задать с помощью графа

Рис. 2

Характеристическое свойство элементов этого отно­шения есть «х делится на y без остатка».

Часто характеристическое свойство элементов отношения формулируют в сокращенной форме. Так, например, говорят, «отношение меньше» вместо «элемент х меньше элемента у». Отношение R из примера 2 обычно на­зывают отношением делимости и т.д.

Отношения могут обладать различными свойствами: свойствами рефлексивности, антирефлексивности, симметричности, асимметричности, антисимметричности, транзитивности, связности.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10. Отношение R на множестве A называется рефлексивным, если любой элемент x из множества A находит­ся в этом отношении с собой, то есть ( x A) xRx.

Если отношение рефлексивно, то в каждой вершине его графа есть петля. Примерами рефлексивных отношений мо­гут служить отношения делимости, параллельности и т. д.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11. Отношение R на множестве A называется антирефлексивным, если ни один из элементов множества A не находится в данном отношении с собой, т.е. ( x A) .

На графе антирефлексивного отношения нет ни од­ной петли. Свойством антирефлексивности обладают, например, отношения перпендикулярности, «меньше» и др.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12. Отношение R на множестве X называется симметричным, если для любых элементов х и y множества A из того, что х находится в отношении R c y следует, что y находится в отношении R с x, т. е. ( x, y A) хRy=>yRx.

На графе симметричного отношения любые две вер­шины либо соединены двумя стрелками (от х к у и обратно), ли­бо не соединены ни одной. Примерами симметричных отноше­ний могут служить отношения параллельности и перпендику­лярности прямых, равенства фигур и т.д.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 13. Отношение R на множестве A называется асимметричным, если для любых элементов x и у множества A из того, что х находится в отношении R c y, следует, что y не находится в отношении R с x, т. е. ( x, y A) .

На графе асимметричного отношения, если две вершины соединены стрелкой, то только одной. Свойством асимметричности обладают, например, отношения «меньше», «больше».

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 14. Отношение R на множестве A называется антисимметричным, если для любых элементов x и y множества A из того, что х находится в отношении R c y и y находится в отношении R с x следует, что х совпадает с y, то есть ( x, y A) xRy, yRx х = у.

Граф антисимметричного отношения не содержит двойных стрелок между вершинами, но может в некоторых вер­шинах иметь петли. В качестве примеров антисимметричных отношений можно привести отношения делимости, «» и др.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 15. Отношение R на множестве A называется транзитивным, если для любых элементов х, у, z множества A из того, что х находится в отношении R c y, а y находится в отношении R с z следует, что х находится в отношении R c z, т. е. ( x, y, z A) xRy, yRz =>xRz.

Определение транзитивного отношения не предполагает обязательного наличия пар (х, у) и (у, z), но если эти пары есть, то обязательно должна быть и пара (х, z)

На графе транзитивного отношения, если есть стрелки от х к у и от у к z, то есть стрелка и от x к z.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 16. Отношение R на множестве X называется связным, если для любых элементов х и у множества A либо х находится в отношении R c y, либо y находится в отношении R с х, т. е, ( x, y A) xRy или yRx.

На графе связного отношения любые две вершины соединены хотя бы одной стрелкой.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 17. Отношение R на множестве X называется отношением эквивалентности, если оно рефлек­сивно, симметрично и транзитивно.

Граф отношения эквивалентности обладает всеми особенностями графов рефлексивных, симметричных и транзи­тивных отношений.

Отношениями эквивалентности являются, например, отношения равенства чисел, равенства фигур, «родиться в одном месяце», «быть однокурсниками», параллельности прямых, по­добия фигур, равномощности множеств, «носить один и тот же размер обуви», «быть одного роста», «иметь одинаковый вес» и многие другие.