Асимптоты. Исследование функций и построение их графиков.

Прямая называется асимптотой график функции , если расстояние от точки до этой прямой стремиться к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Асимптоты бывают вертикальными, горизонтальными и наклонными.

Прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если хоть один из пределов (правосторонний или левосторонний) равен .

Прямая может быть вертикальной асимптотой функции в том случае, если - точка разрыва или граничная точка области определения.

Прямая является горизонтальной асимптотой, если .

Если , то - правосторонняя горизонтальная асимптота, если , то - левосторонняя горизонтальная асимптота.

Если и , то прямая является наклонной асимптотой графика функции .

Общая схема исследования и построения графиков:

1. найти область определения функции;

2. исследовать функцию на четность – нечетность;

3. найти вертикальные асимптоты;

4. исследовать поведение функции в бесконечности; найти горизонтальные и наклонные асимптоты;

5. найти экстремумы и интервалы монотонности функции;

6. найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба;

7. найти точки пересечения графика функции с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

Исследование функции проводится одновременно с построением графиков.

Лекция 7. Дифференциал

Приращение дифференцируемой функции у = f(x) может быть представлено в виде:

где — производная функции f(x); — приращение незави­симой переменной; — бесконечно малая величина.

Дифференциалом (первого порядка) функции у=f(x) называется главная, линейная относительно часть приращения функции, рав­ная произведению производной на приращение независимой пере­менной:

dy = x .

Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной:

dx = х.

Поэтому дифференциал функции

dy = .

Свойства дифференциала:

1) dc = 0, где с = const. 2) d(cu) = с du.

3) d(u ± v) = du ± dv. 4)

5) 6)

Применение дифференциала в приближенных вычислениях:

При достаточно малых значениях приращение функции т.е.

(1)

Чем меньше значение , тем точнее формула (1).

Если аргумент х вычислен с относительной погрешностью то функция  с относительной погрешностью определяемой по формуле

где эластичность функции (по абсолютной величине).

Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) функции у = f(x) называется дифференциал от дифференциала первого порядка этой функции, т.е.

d²y=d(dy).

Дифференциалом п-го порядка dⁿy называется дифференциал от дифференциала ( )-го порядка этой функции, т.е.

d"y =d ( ).

Семестр 2 лекция 1. Неопределенный интеграл

1. Функция F(x) называется первообразной для функции f[x) на промежутке X, если в каждой точке х этого промежутка справедливо равенство F'(x) = f(x).

Совокупность всех первообразных для функции fх) на промежут­ке X называется неопределенным интегралом от функции fix) и обо­значается

где С — произвольная постоянная.

В записи называется подынтегральной функцией, Афина f(x) dx — подынтегральным выражением.

Нахождение неопределенного интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции. Операции интегрирова­ния и дифференцирования являются взаимно обратными.

Основные свойства неопределенного интеграла:

где — некоторое число;

Табличные интегралы:

где 1;

где а > 0, а 1;

где — < х < а, а > 0;

;

;