1Часть имеет длину r, 2 часть имеет длину (n-r)
A1Z1=-A2Z2
По
построению определитель матр D≠0,
значит его столбцы матр В линейно-независимы,
следовательно столбцы образуют базу в
пространстве столбцов длины (n-r),
значит вектор z2
можно представить
как Z2=
cj - коэффициент разложения по базе
вектор
W=Z-
каждый из векторов, есть решение системы
(1)
AW=Θ
A1W1=-A2W2
W2=Z2- , поэтому W2=Θ, значит A1W1=Θ, а к системе применим правило Крамера(решение нулевое), поэтому W=Θ,есть линейная комбинация
Любое решение системы(1) представимо в виде(2) ]
Число Yi- совпадает с числом столбцов в В. В формуле (2) число слагаемых =(n-r),а сами решения Yi нзв фундаментальными решениями bi-степени свободы. При практическом построении фунд решений обычно в качестве матр D выбирают единичную матрицу порядка n-r
Общее решение неоднородных систем
Неоднородная система AX=B(3) B≠Θ
Однородная система всегда имеет хотябы одно решение(нулевое), неоднородная система может не иметь решений
Теорема Кронекера-Капелли: неоднородная система (3) явл совместной тогда и только тогда, когда выполнено условие (4)
Rank(A)=rank(A|B) (4)
A=(A[*|1],А[*|2]…A[*|n])
A|B=(A[*|1],…A[*|n],В)
Предположим, что (3) имеет решение, существует хт=<x1,…,xn> при подстановке хт в (3) получим тождество AX=X1[*|1]+…+A[*|n]=B(5)
Из формулы (5) следует,что столбцы матрицы А и расширенной матрицы образуют эквивалентные системы.Каждый вектор А можно выразить через А|B .было доказано,что ранги эквивал систем совпадают, поэтому из существования решения вытекает формула (4). 2 часть док-ва: предположим,что имеет место равенство(4). Докажем существование решений.пусть обе матр имеют общий ранг r rank(A)=rank(A|B)=r, это означает,что в матрице А существует МЛНП состоящая из r столбцов.можем считать,что это первые r столбцов.Рассмотрим расширенную матрицу.её ранг r,в эту матрицу уже входят r лин.независ столбцов.Это означает.что они образуют МЛНП расширенной матрицы,поэтому столбец В есть лин комбинация x1 A[*|1],…X1A[*|r] из последнего равенства вытекает,что х1,х2…хn,0,…,0 есть решение системы (3)
Теорема: общее решение системы (3) имеет вид:X(P1,…,Pk)=X0+Y(P1,…,Pk) (6)
X0-частное решение
Y(P1,…,Pk)=
, k=n-r,
r-ранг
матр А и A|B
Докажем, что (6) даёт общее решение
1)A(X0+Y(
))=AX0+AY(
)=B+Θ=B-при
любом наборе получ решение
2)если z-решение,то AZ=B , A(Z-X0)=B-B=Θ, поэтому z-x0 – решение однор системы.а любое решение однор системы представимо в виде
Z-X0=Y
, Z=X0+Y
)
если система однор, то решения всегда
есть(2),если не однородна, то надо выяснить
совместна или нет (4)
Теорема. (Свойства скалярного произведения.)
1). Скалярное произведение подчиняется закону коммутативности:
, 
.
2). Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов нулевой или векторы ортогональны:
или 
или 
.
3). Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:
.
4). 
.
Доказательство. Все свойства очевидны из определения и их доказательства предоставляются читателям.
Теорема. (Свойство линейности скалярного произведения.)
1) Скалярное произведение дистрибутивно относительно сложения векторов:
, 
.
2) Скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения:
, 
, 
.
Доказательство. По свойству 4 предыдущей теоремы и по свойству проекции вектора на вектор (на ось) имеем:
.
Второе свойство доказывается аналогично.
Теорема доказана.
Замечание.
Скалярное произведение можно рассматривать
как числовую функцию от двух переменных,
определенную на декартовом
квадрате 
множества векторов 
:
,
т.е.
, 
.
Тогда, свойства теоремы могут быть записаны так:
1)
, 
;
2)
,
, 
.
Первое из этих свойств называется свойством аддитивности функции f по первому аргументу, а второе – свойством однородности по первому аргументу. Если выполняются оба свойства, то говорят, что функция f линейна по первому аргументу. Отсюда происходит и название этих свойств скалярного произведения.
В
силу коммутативности, 
скалярное
произведение какфункция двух переменных
линейна и по второму аргументу, т.е.
справедливы еще два свойства:
3)
, 
;
4)
,
, 
.
Теорема. (Скалярное произведение векторов в координатной форме.) Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат.
Другими
словами, пусть 
, 
.
Тогда
.
(1)
Доказательство. Учитывая, что скалярное произведение ортогональныхвекторов равно нулю, а скалярный квадрат единичного вектора равен 1 , получаем:
,
ч.т.д.
Теорема доказана.
Следствие
1.
Пусть 
.
Тогда 
.
Доказательство.
Эта формула нам уже известна. Здесь ее
можно получить, используя равенство (1),
в котором положим 
:
,
откуда и следует доказываемая формула.
Следствие доказано.
Следствие
2.
Пусть 
, 
.
Тогда
.
Доказательство. Очевидно.
Векторным произведением вектора a на вектор b назовем вектор c, удовлетворяющий условию
1) 
,
где 
--
угол между a и b и,
если 
,
то еще двум условиям:
2) вектор c ортогонален векторам a и b;
3) из конца вектора c кратчайший поворот от вектора a (первого сомножителя) к вектору b (второму сомножителю) виден против часовой стрелки. (Начала векторов предполагаются совмещенными).
1. Векторное произведение антикоммутативно, то есть
В другой формулировке: если изменить порядок сомножителей, то векторное произведение меняет направление на противоположное.
Доказательство.
Пусть 
, 
.
Нужно показать, что 
.
Из условия 1 следует, что 
.
Если 
,
то очевидно, что
.
Если
,
то векторы c и d --
коллинеарны, так как оба лежат на прямой,
ортогональной плоскости векторов a и b.
Таким образом, остаются только две
возможности: 
или
.
Пусть вектор
совпадает
с вектором
.
Тогда в силу условия 3 из конца одного
и того же вектора и поворот от a к b,
и поворот от b к a по
кратчайшему направлению виден против
часовой стрелки, что невозможно.
Следовательно,
.
2.Векторное
произведение 
равно
нулю тогда и только тогда, когда
векторы a и b --
коллинеарные.
Доказательство.
Из определения векторного произведения
получим, что 
тогда
и только тогда, когда 
,
или 
,
или 
.
Из последнего равенства получим,
что 
или 
,
в этом случае векторы a и
b
коллинеарны.
Вспомнив, что нулевой вектор считается
коллинеарным любому другому вектору,
получим, что предложение верно и
при a или b,
равных нулю.
3. Для
любых векторов a и b и
любого числа 
выполняется
равенство 
.
Доказательство.
Если 
,
то утверждение очевидно. Если
векторы a и b --
коллинеарные, то векторы 
и
b --
тоже коллинеарные, и поэтому обе части
доказываемого равенства равны нулю.
Пусть 
, a, b --
неколлинеарные, 
, 
.
Тогда углы, образованные векторами a и b и
векторами
и b,
равны. Следовательно,
то есть . Оба вектора c и d перпендикулярны плоскости векторов a и b и направлены одинаково, так как равны углы между сомножителями. Следовательно, .
4. Векторное
произведение обладает свойством
дистрибутивности, то есть 
.
5. Площадь параллеллограмма, сторонами которого служат векторы a и b, равна модулю их векторного произведения,
Площадь треугольника со сторонами a, b вычисляется по формуле
Доказательство естественным образом вытекает из условия 1 в определении векторного произведения.
Отметим еще одну особенность векторного произведения, отличающую его от операции умножения чисел.
6. Векторное
произведение не является ассоциативным,
то есть существуют такие векторыa, b, c,
что 
.
Доказательство.
Пусть a и b --
любые неколлинеарные векторы, 
.
Тогда вектор 
,
кроме того, этот вектор ортогонален
плоскости векторов a и b.
Таким образом, векторы
и c --
неколлинеарные, поэтому 
.
Поэтому 
.
Получили, что
.
Свойства смешанного произведения:
1° 
2° 
3°
Три вектора
компланарны тогда
и только тогда, когда 
Доказательство.
По определению 
.
В силу свойства скалярного произведения
тогда
и только тогда, когда векторы a и 
ортогональны.
Если 
,
то вектор
ортогонален
плоскости векторов b,c,
и, следовательно, a лежит
в плоскости векторов b,c
4°
Тройка векторов является правой тогда
и только тогда, когда 
.
Если же 
,
то векторы 
, 
и 
образуют
левую тройку векторов.
5° 
6° 
7° 
8° 
9° 
10°
Тождество Якоби: 
Система координат.
Сист. коорд. в аффинном пр-ве нзв. точка О (начало коорд)
и базис в пр-ве векторов.
Часто сист. коорд. на пл-ти задают двумя
пересекающимися прямыми, начало коорд. есть точка
пересечения прямых, а базисные векторы имеют
единичную длину и //ны соответ. прямым. Если
выбрана сист. коорд., то каждая точка Р получает коорд.:
это коорд. вектора, идущего из начала в эту точку,
подсчитанные в выбранной базе.
ОР
= aα
+ bβ
α
β O Р
Взаимное
расположение прямой и плоскости.
Ax + By + Cz = D
(X-Xo)/a = (Y-Yo)/b = (Z-Zo)/c
ν
α
(ν, α) = 0 [ //на или лежит]
(ν, α) ≠ 0 [пересекает в 1ой точке]
(ν, α) = 0 & Axo + Byo + Czo = D [прямая лежит в пл-ти]