Ранг матрицы.

Две системы векторов α и β называются эквивалентными, если каждый вектор

α{ β(выражается) и β{ α.

Предложение. Ранги эквивалентных систем совпадают.

α_i1, α_i2,…, α_ir – МЛНП α , β_i1, β_i2,…, β_ik – МЛНП β , α_i1, α_i2,…, α_ir < β < β_i1, β_i2,…, β_ik → r<=k

Поменяв местами α и β местами → r>=k >>> Значит, r=k.

Определение. Пусть дана матрица A=

α_i=<a_i1,a_i2,…a_in>

Рангом матрицы А называется ранг системы векторов α1, α2,…, αm, составленных из это матрицы >>rank(A)-ранг

Из определения очевидно, что при перестановке столбцов ранг не меняется. Покажем , что при перестановке столбцов ранг так же не меняется.

А’=

α’i=<a_1n, a_i2,…,a_i1>

Линейно зависимы :

b₁α₁+ b₂α₂+…+ b_mα_m=θ, b₁а₁₁+b₂a₂₁+…+b_ma_m1=0, b₁α’₁+ b₂α’₂+…+ b_mα’_m , b₁а₁₁+b₂a₂₁+…+b_ma_m1=0

Основная теорема о рангах матрицы.

Ранг матрицы совпадает с максимальным порядком отличных от нуля миноров этой матрицы.

Док-во: предположим, что в матрице имеется минор n-го порядка не равный нулю, а все его более высокие миноры нулевые. Доказать, что ранг матрицы равен n.

Переставляя строки и столбцы, можем переместить этот минор в левый верхний угол.

D= ≠0

Докажем, что первые r строк линейно независимы и что любая другая строка линейная комбинация этих r строк: если бы первые r строк были линейно зависимы, то какая то строка была линейной комбинацией остальных, тоже самое было бы справедливо для выделенного минора и он равнялся 0.

Докажем, что любая строка есть линейная комбинация этих строк:

α₁=<a_i1,a_i2,…,a_ir>

Составим определитель (добавим i-тую строку) D₁= 1<=j<=r

Если j<=r в определителе два одинаковых столбца и определитель равен 0

Если i>r, то минор r+1 порядка и равен 0.

D₁=0=a_1j(-1)^r+2 D₁(1|r+1)+a_2j(-1)^r+3D₁(2|r+1)+…+a_ij(-1)^2r+2D (D≠0)

a_ij= (a_1j(-1)^r+2 D1(1|r+1)+a_2j(-1)^r+3D₁(2|r+1)+…)

Вся i-тая строка есть линейная комбинация первых r строк

Следствие.1) При транспонировании матрицы ранг не меняется (Ранг матрицы можно определять ка по строкам , так и по столбцам 2)Определитель квадратной матрицы равен 0, тогда и только тогда, когда какая-то строка матрицы является линейной комбинацией остальных. (Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя квадратной матрицы)

Доказательство. Дана матрица А n×n. |A|=0

Если |A|=0, то максимальный порядок не равных нулю миноров меньше n. Из основной теоремы следует, что rank(A)<n.Значит, строки матрицы линейно зависимы и определитель равен 0.

Ранг произведения матриц.

Ранг произведения матриц не превосходит ранг каждого из сомножителей.

rank(AB)<=min(rank(A),rank(B))

Доказательство. Пусть C=AB. Из операции перемножения вытекает, что каждый столбец матрицы C[*,j] есть линейная комбинация ∑А[*,k].

C[*,j]=∑A[*,k]B[k,j]→ rank(C)<=rank(A) – из основной теоремы о линейных пространствах

С^Т=А^ТB^Т→ rank(C)=rank(C^T) <=rank(B^Т)=rank(B)

α1, α2,…, αn { β1, β2,…,βn

rank(α)<=rank(β) Значит rank(AB)<=min(rank(A),rank(B))

Следствие. Пусть С=АВ, если |A|≠0, то rank(C)=rank(B)

Доказательство:

rank(C)<=rank(B) B=A^-1C rank(B)<=rank(C)

Значит, rank(B)=rank(C)

Аналогично, если |B|≠0 , то rank(B)=rank(A)

При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется. С помощью элементарных преобразований матрицу можно привести к квази-треугольной форме. Ранг квази-треугольной матрицы равен r, поскольку ее минор с главной диагональю а₁₁а₂₂,...,а_nn равен произведению не равным нулю а все миноры более высокого порядка равны нулю (как содержащие нулевые строки).

К элементарным преобразованиям относят следующие:

1) перестановки строк (столбцов);

2) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на некоторое число.

Эти преобразования не меняют ранга матрицы, так как известно, что 1) при перестановке строк определитель меняет знак и, если он не был равен нулю, то уже и не станет; 2) при умножении строки определителя на число, не равное нулю, определитель умножается на это число; 3) третье элементарное преобразование вообще не изменяет определитель. Таким образом, производя над матрицей элементарные преобразования, можно получить матрицу, для которой легко вычислить ранг ее и, следовательно, исходной матрицы.

АХ=В (1) A m*n X n*1 B m*1

Система называется однородной, если матрица В=Θ

АХ= Θ (2)

Если к системе (2) применима правило Крамера, то эта система имеет только нулевое решение.

Опр. Общим решением системы (2) нзв. Х(Р₁,...,Р _n) и обладающий следующими свойствами :

1. При любом наборе параметров получаем решение системы

2. И наоборот для любого решения х₀ можно подобрать Р°₁,…,Р°_n х₀=х(Р°₁,…,Р°_n)

Предложение: сумма 2ух решений системы (2) явл решением этой системы. Умножив произведение решений системы (2) на число, получим то же самое решение системы

АХ₁=Θ АХ₂= ΘАХ₁+ АХ₂=Θ

А(bX₁)=(Ab)X₁=b(AX₁)=Θ, rank(A) = r

можно предположить, что первые r строк матрицы А линейно-независимы, то все остальные строки явл линейной комбинацией остальных строк. Все уравнения с номерами больше чем r, явл следствием первых r уравнений. Ранг- максим. число линейно-независимых строк, все остальные явл зависимыми от первых. Вместо исх системы (2) получаем новую систему

a₁₁x₁+…+а₁ᵣxᵣ+a₁ᵣ₊₁x_r+1+a_1nx_n=0

(3) a₂₁x₁+…+а_2rx_r+a_{2 r+1}x_r+1+a_2nx_n=0

a_r1x₁+….+a_rrx_r+…a_rnx_n=0

в первой было m уравнений,а в(3) r

Ar представили в блочном виде, Ar=(A₁,A₂)

A₁₌ r×к >> A₂₌ ) r×(n-r)

Вектор х разобъём на 2 части Х= ) >> x1=r×1 >> x2=(n-r)×r >> (A₁|A₂)( )=Θ

Система (4)- краткая запись A₁X₁+A₂X₂=Θ >> A₁X₁=-A₂X₂ (5) >> |A1|≠0

1 шаг - нашли ранг (из всех уравнений берём только r), 2 шаг-преобразовали в (5)

Теорема: Пусть дана однородная система уравнений (2),если ранг матрицы равен r, то общее решение системы имеет вид X(P₁,…P_n-r)= P₁Z₁+P₂Z₂+…+P_n-rZ_n-r

Построение решения: если в системе (5) в качестве вектора х₂ взять любой вектор длины n-r, то решая систему (5) по правилу Крамера мы находим вектор х⁰, и составляя из них х_on= )

D (n-r)×(n-r) , |D|≠0, AX₁=-A₂D[*|i], i=1,…,n-r

Y_i ( ) было доказано, что любая линейная комбинация решений однородной системы явл решением той же самой системы

Y= (2) решение системы (1)

Док-ть, что любое решение можно представить в этом виде

[Пусть z-любое решение AZ=Θ Z=( )