Подстановкой из n чисел называется функция f которая определяет взаимно однозначное множество на себя.

Если в таблице, задающей подстановку переставить столбцы, то новая таблица задает ту же подстановку.

Четностью подстановки называется четность суммы числа инверсий в верхней и нижней строках таблицы, задающей подстановку.

Предложение: все таблицы, определяющие одну и ту же подстановку, имеют одинаковые четности.

При перестановке столбцов происходит изменение четности в верхней и нижней строках, сумма четности не меняется.

Перестановкой из n чисел называется запись этих чисел в произвольном порядке.

Две перестановки считаются равными, если у них на одинаковых местах стоят одинаковые числа.

Пары чисел из перестановки а_i a_k образуют инверсию, если при i<k , а_i > a_k.

Число пар перестановки, образующих инверсию называется числом инверсий перестановки. (Всего С_n² перестановок)

Замена местами двух элементов перестановки называется транспозицией.

Перестановка называется четной, если число инверсий в ней четное.

Любая транспозиция меняет четность перестановки на противоположную. Док-во: Предположим, что меняются местами 2 рядом стоящих числа. Если 2 числа образовывали инверсию в первой, то образуют и во второй перестановке.

Число инверсий в обеих перестановках различается на единицу. Перестановки имеют различные четности.

Определителем квадратной матрицы называется число |A|=det(A)=Σ±A[1|i₁]A[2|i₂]..A[n|i_n] Каждое слагаемое в формуле содержит представителя каждой строки и каждого столбца.

Свойства определителя n-ого порядка.

1.|A|=|A^T| При транспонировании матрицы, определитель не меняется.

Пусть B=A^T → B[i|j]=A[j|i] |B|=Σ± B[1|i₁]..B[n|i_n]= Σ±A[i₁|1]..A[i_n|n]→|B|=|A|

2.Если какая-то строка матрицы состоит из 0,то определитель =0. A[k|*]=0→|A|=0. Каждое слагаемое содержит элемент k-ой строки, поэтому все произведение=0.

3. A[k|*]→cA[k|*] = |A|→c|A|

4.Если в матрице поменять местами 2 строки, то определитель матрицы поменяет знак.

B[i|*]=A[i|*],i≠k,i≠j. B[k|*]=A[j|*] B[j|*]=A[k|*]

|B|=Σ± B[1|i₁]..B[k|i_k]..B[j|i_j]..B[n|i_n]=Σ±A[1|i₁]..A[j|i_k]..A[k|i_j]..A[n|i_n]= -Σ±A[1|i₁]..A[j|i_k].. A[k|i_j]..A[n|i_n]= -|A|

5.Если в матрице есть 2 одинаковые строки, то ее определитель равен 0.

Поменяем местами равные строки |A|= -|A|→|A|=0

6. A[i|*]=A′[i|*]+A′′[i|*]. |A|= Σ±A[1|j₁]..A[i|j_i]..A[n|j_n]= Σ±A[1|j₁]..(A′[i|i_i]+A′′[i|i_i])..A[n|j_n]= Σ±A[1|j₁]..A′[i|j_i]..A[n|j_n]+ Σ±A[1|j₁]..A′′[i|j_i]..A[n|j_n]

7.Если какая-то строка матрицы есть линейная комбинация остальных, то определитель=0. A[n|*]=Σb_kA[k|*]

8.Если к какой-то строке матрицы прибавить линейную комбинацию остальных, то определитель не меняется. A[n|*]→ A[n|*]+Σb_kA[k|*]

Определитель треугольной матрицы. Матрица называется верхней треугольной, если все элементы ниже главной диагонали нулевые. |A|=Σ±a_1i1∙a_2i2..a_nin=Σ±a_1i1..a_n-1in-1∙a_nn=Σ±a_1i1..a_n-1n-1∙a_nn=a₁₁∙a₂₂..a_nn Определитель = произведению диагональных элементов.

Разложение определителя по строке. Теорема: для любой кв.матрицы справедливы формулы: |A|=Σ_iA[i|j]A_ij= Σ_jA[i|j]A_ij

Рассмотрим частный случай 1.(в последнее строке все столбцы нулевые кроме последнего)|A|= Σ±a_1i1∙a_2i2..a_nin=Σ±a_1i1..a_n-1in-1∙a_nn= a_nn Σ±a_1i1..a_n-1in-1= a_nn|A(n|n)|= a_nnA(n|n)

2.(из матрицы A iый столбец перенесли в конец, получили матрицу B) |B|=a_niB_nn

|B|=(-1)^n-i|A|=a_ni|A(n|i)| |A|= a_niA_ni. (a_ni,a_n2..a_nn)=( a_ni,0..0)+(0,a_n2..0)+..(0,0..a_nn) |A|=Σa_nkA_nk

1 1 … 1 Вычитая первый столбец из всех последующих получаем

Δ(x₁,x₂,…,x_n)= x₁ x₂ … x_n первую строку равную 1 0…0 все последущии х₁^п-1 …х_п^п-1-х₁^п-1

x₁^n-1 x₂^n-1… x_n^n-1 далее разложение по 1-ой строке после вычитаем из каждой строки предыдущую строку умноженную на x₁ далеемы можем вынести за знак определителя общий множитель первого столбца равный (x₂-x₁) общий множитель второго столбца x3-x1 и т.д.в рез-те получим Δ(x1,x2… xn)=(x2-x)(x3-x1)…(xn-x1)Δ(x2,x3…xn) со стоящим в правой части определителем поступим так же ,продолжая такие рассуждения далее окончательно получим исходный определитель det(A)=(x2-x1)(x3-x1)…(xn-x1)(x3-x2)…(xn-x2)…(xn-xn-1) Определитель Вандермонта.

Обратная матрица Определение: Матрица B называется обратной матрицей для квадратной матрицы А, если .

Из определения следует, что обратная матрица A будет квадратной матрицей того же порядка, что и матрица (иначе одно из произведений   или   было бы не определено). Обратная матрица для матрицы   обозначается   . Таким образом, если   существует, то   . Из определения обратной матрицы следует, что матрица   является обратной для матрицы   , то есть   . Про матрицы   и   можно говорить, что они обратны друг другу или взаимно обратны.

       Предложение   Если матрица   имеет обратную, то   и   .

        Доказательство.     Так как определитель произведения матриц равен произведению определителей , то   .  , поэтому   , что невозможно при   . Из предыдущего равенства следует также   .      

Последнее предложение можно сформулировать в следующем виде.