2.2 Аналитическое решение упрощенной задачи построения оптимального портфеля с минимальным риском (задача об осторожном инвесторе)
В качестве численного примера рассмотрим решение задачи для случая трех ценных бумаг:
Портфель состоит из 3х независимых ценных бумаг, и описываться следующими уравнениями:
x1+x2+x3=1 (уравнение баланса); (2.5)
m=10 x1+20 x2+40 x3 (уравнение дохода) (2.6)
При этом риск портфеля будет равен:
(уравнение
риска) (2.7)
Найдем структуру портфеля ценных бумаг обеспечивающую минимальный риск (2.7) при выполнении линейного ограничения уравнения баланса (2.5). Определить доходность оптимального портфеля осторожного инвестора.
Поиск оптимального портфеля ценных бумаг производиться методом Лагранжа. Функция Лагранжа будет равна:
,
где λ - множитель Лагранжа. Вычислим частные производные:
,
,
Отсюда, приравнивая к нулю производные, получим структуру портфеля ценных бумаг:
,
,
Для определения множителя Лагранжа λ воспользуемся уравнением баланса (2.5):
Окончательно имеем:
Тогда структура портфеля приобретет вид:
(2.8)
Подставим значения x в уравнения (2.6) и (2.7), и найдем значения дохода и риска оптимального портфеля:
m=10∙0,5882+20∙0,2941+40∙0,1176=5,882+5,882+4,70588=16,4706
Представим полученные результаты в виде таблицы. Первая строка соответствует оптимальному портфелю осторожного инвестора. Вторая, третья и четвертая строки предполагает вложение всех средств в первую, вторую и третью ценную бумагу соответственно
-
x1
x2
x3
m
V
0,5882
0,9241
0,1176
16,4706
0,5882
1
0
0
10
1
0
1
0
20
2
0
0
1
40
5
Если поверхностно подойти к задаче, то кажется, что минимальный риск достигается в случае, когда все средства вкладывать в наименее рискованную первую ценную бумагу. При этом доходность достигает 10, а риск достигает 1. Однако в случае оптимальной диверсификации следует вложить 58,8% в первую ценную бумагу, во вторую 29,4% и в третью 11,8%. При этом оказывается, что доход портфеля возрастет более чем в 1,5 раза и будет равен 16,46, а риск уменьшиться почти в два раза и будет равен 0,588.
Численное решение с помощью Excel задачи об осторожном инвесторе
Произвести расчет своего варианта финансового инвестиционного проекта:
См. варианты_инв_курс_пр.xls, лист2
Получить аналитическое решение своего варианта задачи об осторожном инвесторе
Произвести численный расчет оптимального портфеля острожного инвестора с помощью программы оптимизации Excel «Поиск решения ». Для её подключения необходимо произвести следующие операции: войти в Excel, далее Сервис / Надстройки /Поиск решения.
Сравнить аналитическое и численное решение задачи об осторожном инвесторе
См. инвестиции_курс_пр.xls, лист3