Способы описания линейных блоковых кодов.
Существует несколько способов описания линейных блоковых кодов, основными из которых являются матричный и полиномиальный.
Пусть задан
линейный блоковый код и следовательно
существует множество из
канальных кодов
(
)
и его подмножество из
кодовых слов, порождаемое информационными
словами
(
).
А. Матричный способ описания линейных блоковых кодов
Матричный способ описания линейных блоковых кодов особенно удобен для описания систематических кодов, в которых положение информационных и проверочных разрядов в слове четко определено.
Для кодирования
информационного слова
используют соотношение
.
(2)
Задаваемое этим
равенством соответствие определяет
кодер и зависит от выбора базисных
векторов в качестве строк (
)-мерной
порождающей
матрицы
.
Для систематического кода порождающая
матрица – блочная, и может быть
представлена следующим образом –
а) или
,
б) (3)
где
– (
)-мерная
матрица, задающая способ формирования
проверочных разрядов из имеющихся
информационных (здесь и далее символ
«т» обозначает транспонирование);
–
(
)-мерная
единичная матрица.
Вариант а) и б) отличаются расположением в кодовом слове информационных и проверочных разрядов. Так при использовании матрицы (3а) проверочные разряды располагаются в младших разрядах кодового слова (именно этот вариант матрицы будет использоваться для описания процесса кодирования в дальнейшем).
Пример 3.
Рассмотрим
порождающую матрицу
вида (3а) простейшего двоичного кода с
проверкой на четность (код положительного
паритета) для
и
(
)
,
где
.
Пусть
.
Тогда кодовое слово равно
,
в котором младший разряд является проверочным (битом четности или паритета).
Таким образом, матрица является компактным описанием линейного блокового кода и формально может быть использована для «порождения» как систематических (вида (3) ), так и несистематических (способ представления будет рассмотрен ниже) блоковых линейных помехоустойчивых кодов.
Пусть задана
(
)-мерная
матрица
,
ортогональная порождающей матрице
,
для которой справедливы равенства
а) или
,
(4)
где
– (
)-мерная
нулевая матрица.
Очевидно, что любое «порожденное» матрицей кодовое слово ортогонально каждой строке матрицы и следовательно справедливо равенство
,
(5)
где
– (
)-мерный
нулевой вектор-строка.
Матрица , обладающая свойствами (4), называется проверочной матрицей и также используется для описания линейных блоковых кодов. Соответствующая порождающей линейный код матрице вида (3) проверочная матрица имеет вид
а) или
.
б) (6)
Для случая примера 3 проверочная матрица (6а) равна
.
Пример 4.
Сформировать
порождающую матрицу
вида (3а) для систематического циклического
(7, 4, 3)-кода, порождаемого многочленом
.
Проверочная
матрица
вида (6а) для циклического
(7, 4, 3)-кода Хэмминга строится из
элементов расширенного поля Галуа
по модулю
,
а именно
или (после представления степени примитивного элемента соответствующим полиномом) в виде
.
(6в)
Отсюда порождающая матрица (3а) имеет вид
.
Равенство (5) может быть использовано на этапе декодирования принимаемых кодовых последовательностей для обнаружения возможных ошибок в канале, а в ряде случаев и для их исправления.
Пусть
-мерный
вектор-строка ошибок в канале и принятая
кодовая последовательность
определяется по соотношению
.
Тогда
(
)-мерный
вектор-строка
,
часто называемый синдромом,
равен
.
(7)
Очевидно,
что если вектор
,
то и вектор синдрома (7) нулевой. Равенство
вектора синдрома нулю свидетельствует
либо об отсутствии ошибок в канале, либо
о
возникновении большего числа ошибок,
чем может обнаружить код.
В противном случае вектор
содержит нули в «безошибочных» разрядах
и значения
из алфавита кода мощности
в «ошибочных» разрядах (
– величина «рассогласования» переданного
и принятого кода, для двоичного кода
).
Проиллюстрируем возможность обнаружения и исправления однократной ошибки в канале на примере.
Пример 5.
Передать в канал
информационное слово
,
используя систематический код,
рассмотренный в примере
4. Оценить
вектор синдрома
при ошибке в канале, заданной вектором
ошибок
(ошибка в разряде
).
По соотношению (2) формируем кодовое слово
.
Далее эмулируем ошибку в канале
.
По соотношению (7) находим вектор синдрома
.
Неравенство
синдрома
нулю свидетельствует об ошибке в канале,
а код синдрома для простейших кодов,
исправляющих однократные ошибки (
),
определяет позицию «ошибочного» разряда
(см. матрицу
вида (6в) ), т.е. ошибка
в разряде
.
Таким образом, одним из способов задания линейных помехоустойчивых кодов является формирование порождающих или проверочных матриц. Способы задания таких матриц для наиболее распространенных разновидностей несистематических циклических кодов будут рассмотрены ниже.
Б. Полиномиальный способ описания линейных блоковых кодов
Полиномиальный способ используется для описания циклических кодов, нашедших ввиду простоты кодирования и декодирования наибольшее практическое применение.
Множество
-мерных
канальных кодов
(
),
его подмножество кодовых слов, заданное
-мерными
информационными словами
(
),
множество
-мерных
векторов
канальных
ошибок, а также порождающие эти коды
конструкции (аналоги матриц
и
)
могут быть описаны с помощью полиномов
(многочленов) произвольной степени вида
,
(8)
где
– коэффициенты многочлена, принадлежащие
алфавиту кода мощности
.
Кодовое слово несистематического циклического кода формируется по соотношению (аналог матричного соотношения (2) )
,
(9)
где
– многочлен степени
,
описывающий кодовые слова;
– информационный
многочлен степени
;
– порождающий
многочлен степени
;
и систематического кода – по соотношению
,
,
(10)
где 
– многочлен степени
,
описывающий младшие (
)
проверочных разрядов кода.
Примечание.
Обсудим особенности алгоритма деления многочленов.
Для каждой пары
многочленов
и
(
/
)
существует единственная пара многочленов
(частное) и
(остаток) таких, что
,
.
Остаток, который представляет особый интерес, можно записать в виде
или
.
(11)
Отсюда многочлен (10) в терминах (11) может быть записан в виде
.
(12)
Синдром
(аналог матричного соотношения (7) )
с учетом (11) равен
,
(13)
где
– проверочный многочлен степени
,
такой что
(см.
свойства расширенных конечных полей
Галуа
).
Таким образом циклический код однозначно задается порождающим и проверочным многочленами.
Матричное представление простейшего систематического циклического кода аналогично рассмотренному выше примеру 4.
Рассмотрим
особенности матричного описания
простейшего несистематического
циклического кода Коэффициенты
порождающего
и проверочного
многочленов (
,
и
,
)
однозначно задают соответствующие
(
)-мерную
порождающую
и (
)-мерную
проверочную
матрицы несистематического
кода (их первые строки, а каждая следующая
получается путем циклической сдвижки
предыдущей вправо на один разряд),
которые имеют вид
,
.
(14)
Пример 6.
Сформировать соответствующее информационному слову кодовое слово для несистематического циклического (7, 4, 3)-кода, порождаемого многочленом . Решение представить в полиномиальном и матричном виде. Оценить вектор синдрома для вектора ошибок (ошибка в разряде ).
Решение.
Полином, описывающий
информационный код, имеет вид
.
По (9) получим полином
,
описывающий кодовое слово
,
т.е.
кодовое слово имеет вид
.
Под воздействием помех в канале произошла ошибка в разряде и на приемной стороне получено канальное слово вида
или
.
Используя свойство поля Галуа получим проверочный полином
.
По (13) оценим полином синдрома
.
Неравенство полинома синдрома нулю свидетельствует о наличии ошибки в принятом канальном слове.
Для наглядности отыскания ошибочного разряда решим задачу в матричном виде.
Сформируем по (14) порождающую и проверочную матрицы заданного несистематического циклического кода
,
.
Нетрудно показать,
что кодовое слово
,
соответствующее информационному
и порождаемое такой матрицей
равно
.
Появление ошибки в канале (
)
позволяет сформировать канальный код
.
Как и прежде по соотношению (7) находим вектор синдрома
,
значение
которого по виду проверочной матрицы
позволяет определить ошибочный разряд,
а именно –
,
т.е. ошибка произошла в разряде
.
Далее из канального
слова
восстанавливается кодовое слово
,
а результатом декодирования последнего
является соответствующее информационное
слово
.
Особенности процесса декодирования несистематических циклических кодов будут рассмотрены позже. Принципы построения и описании работы кодеров и декодеров циклических кодов на основе порождающих и проверочных многочленов будут рассмотрены при изучении основных разновидностей циклических кодов.
Інформація – відомості про об'єкти, процеси і явища.
Інформація з обмеженим доступом – інформація, право доступу до якої обмежене встановленими правовими нормами і (або) правилами.
Конфіденційна інформація – інформація з обмеженим доступом, що знаходиться у володінні, користуванні або розпорядженні окремих фізичних (юридичних) осіб або держави, порядок доступу до якої встановлюється ними.
Секретна інформація – інформація з обмеженим доступом, що містить зведення, що складають державну або іншу передбачену законом таємницю.
Погроза для інформації – витік, можливість блокування або порушення цілісності інформації.
Витік інформації – неконтрольоване розповсюдження інформації, що веде до її несанкціонованого одержання.
Блокування інформації – виключення можливості санкціонованого доступу до інформації.
Порушення цілісності інформації – перекручування інформації, її руйнування або знищення.
Доступ до інформації – можливість одержання, обробки інформації, її блокування і (або) порушення цілісності.
Несанкціонований доступ до інформації – доступ до інформації, при якому порушуються встановлений порядок його здійснення і (або) правові норми.
Засіб технічного захисту інформації – пристрій і (або) програмний засіб, основне призначення яких – захист інформації від погроз.
Власне захист інформації можна визначити як міри для обмеження доступу до інформації для яких-небудь осіб (категорій осіб), а також для посвідчення дійсності і незмінності інформації.
Інформація з погляду інформаційної безпеки має наступні категорії:
конфіденційність - конкретна інформація, доступна тільки колу осіб, якій вона призначена; порушення цієї категорії визначається як розкрадання або розкриття інформації;
цілісність - інформація існує у вихідному виді, тобто при її збереженні або передачі не було зроблено несанкціонованих змін; порушення цієї категорії називається фальсифікацією повідомлення;
автентичність - джерелом інформації є саме та особа, що заявлена як її автор; порушення цієї категорії також називається фальсифікацією автора повідомлення;
апелюємость - гарантія того, що при необхідності можна буде довести, що автором повідомлення є саме заявлена людина, і не може бути ніхто іншої (категорія, досить часто застосовувана в електронній комерції) (відмінність цієї категорії від попередньої полягає в тому, що в першому випадку при підміні автора повідомлення хтось іншої намагається представити себе автором, а в другому - сам автор намагається відмовитися від своїх слів).