Довірчий інтервал для оцінки математичного сподівання нормального розподілу

Нехай кількісна ознака X генеральної сукупності розподілена за нормальним законом, середньоквадратичне відхилення відомо. Треба знайти довірчий інтервал, що покриває математичне сподівання а генеральної сукупності із заданою надійністю .

Згідно із властивістю нормально розподіленої випадкової величини X маємо

Але випадкова величина, для якої , , тому при заміні на , а на дістанемо . Тут є відомим , а невідомим . Обчисливши за таблицею по заданому , знайдемо : .

З надійністю довірчий інтервал покриває невідомий параметр .

Зауваження 2. З формули (5) випливає, що при зростанні об'єму вибірки п число зменшується, а це означає, що точність оцінки збільшується. Коли надійність збільшується, функція зростає і згідно з її властивістю зростає і, як наслідок зростає . Отже, збільшення надійності оцінки зменшується її точність.

Приклад 1. Випадкова величина розподілена за нормальним законом з параметром . Зроблена вибірка об’єму . З надійністю знайти довірчий інтервал невідомого параметра .

Розв’язання. Із рівності за таблицею знаходимо . Тоді за формулою обчислимо .

Отже, довірчий інтервал буде . Якщо, наприклад, , то з надійністю 0,95 інтервал (2,006; 3,584) покриває параметр а=2,8 з точністю .

Знаходження об’єму вибірки. Нехай ознака Х генеральної сукупності розподілена за нормальним законом з параметром і потрібно знайти мінімальний об’єм вибірки , який із заданою точністю та надійністю дозволить знайти оцінку параметра а.

Формула для слідує з формули для : .

Обробка вибірки методом найменших квадратів.

Припустимо, що нам відома функціональна залежність між випадковими величинами вигляду з невідомими параметрами .

Нехай внаслідок незалежних випробувань одержані варіанти ознак У та X, які оформлені у статистичній таблиці

Номери випробувань	1	2	...		...	п
X			...		...
У			...		...

Для знаходження оцінок параметрів функціональної залежності за даними вибірки застосуємо метод найменших квадратів. Цей метод базується на тому, що найімовірніші значення параметрів повинні давати мінімум функція

.

Якщо функція має неперервні частинні похідні відносно невідомих параметрів , то необхідною умовою існування мінімуму функції буде система т рівнянь з т невідомими .

Знаходження функціональної залежності між випадковими величинами X та У з використанням даних випробувань (або вибірки) називають вирівнюванням емпіричним даних вздовж кривої .

Нижче розглянемо детальніше оцінки параметрів лінійної та параболічної функціональної залежностей, які вико­ристовуються найчастіше.