Численное интегрирование

Постановка задачи

Рассмотрим [a, b] и I =_b∫^aF(x)dx найти I по значениям F(x_i), i=1, 2, … , n.

Формула трапеций

См рис в презент.

_a∫^bf(x)dx≈ [f(b)+f(a)]

R(f)=- f(ᶯ) (a≤ᶯ≤b)

Для повышения точности разобьем [а, b] на n равных отрезков с шагом и применим(6.1) к каждому отрезку [a+k·h, a+(k+1)·h]

(6.3)

(6.4)

(6.5)

где (6.6)

Пример. при n=4 и 8.

Формула Симпсона (парабол)

При n=2 интерполирование выполняется по точкам:

a, c=1/2(a+b) и b.

(6.9)

(6.10)

(6.11)

Пример.

Аппроксимация функции

Дан класс функций R, определенных на отрезке [a, b]. Для заданной функции f(x) и

заданной точности e > 0 найти функцию F(x)ÎR, такую, что имеет место неравенство:

, хÎ[a, b] (5.1)

где через обозначена мера близости функций. Левую часть выражения (5.1) еще называют критерием согласия.

Первая группа состоит из линейных комбинаций функций

1 , х , х ² ,…, х ⁿ, (5.2)

т.е. совпадает с классом алгебраических полиномов степени n или меньше.

Второй класс образуют линейные комбинации

функций cos a_ix, sin a_ix. Этот класс тесно связан с рядами Фурье.

Третья группа состоит из линейной комбинации функций . В этом случае рассматриваемая задача становится экспоненциальной аппроксимацией.

Критерии согласия:

Точное совпадение приближающей функции с заданными значениями у_i, i=0, 1, 2,…, n в узловых точках. Этот критерий называется интерполяцией, он приводит к алгоритмам, которые игнорируют помехи (шумы), которыми могут быть осложнены значения у_i. При наличии больших ошибок в значениях у_i, полученная при интерполяции функция, может сильно отклониться от искомой между узлами.

Второй относительно хороший критерий – это метод наименьших квадратов (МНК). Он означает, что сумма квадратов отклонений значений аппроксимирующей функции от замеренных значений у_i в узлах х_i, i=0, 1, 2,…, n была возможно наименьшей, или, другими словами, минимизирована. По существу, этот критерий использует избыточную информацию, чтобы произвести некоторое сглаживание шума. Он популярен, так как имеет красивую законченную математическую теорию и хорошо согласуется с принципами природы.

Третий критерий основан на минимизации максимального отклонения сглаженного значения от замеренного. Этот критерий носит название равномерного приближения или приближения Чебышева (по имени математика, автора критерия).