Вторая интерполяционная формула Ньютона

Как будет показано далее на примере, формулу (4.6) рекомендуется использовать для интерполяции функции у=f(x) в окрестности начального значения х₀, где t мало по абсолютной величине.

Пример. По данным предыдущей таблицы вычислить f(1,65), .для равноотстоящих значений аргумента x_i=x₀+ih.

По формуле (4.6) получим f(1,65)=0,2154. Так как lg(1,65)=0,2175, значит f(1,65) вычислено только с двумя верными знаками. Отсюда следует, что не рекомендуется использовать первую формулу Ньютона вблизи конца таблицы. В этом случае следует использовать вторую ИФН, которая дает здесь более точные значения.

Пусть дан набор значений функции f(x):

у_i=f(x_i), i=0, 1, 2,…, n (4.7)

для равноотстоящих значений аргумента x_i=x₀+ih.Построим интерполяционный полином вида:

P_n(x)=a₀+a₁(x-x_n)+a₂(x-x_n)( x-x_n-1)+…+a_n( x-x_n)(x-x_n-1)…(x-x₁). (4.8)

Найти полином значит определить его коэффициенты a₀, a₁,…,а_n причем так, чтобы были выполнены равенства

P_n(x_i)=y_i, i=0, 1, 2,…,n. (4.9)

Положим х=х_n в формулах (4.9) и (4.8), получим

P_n(x_n)=y_n=a₀,

следовательно,

а₀ = у_n. (4.10)

Затем, полагая в (4.9) и (4.8) х = х_n-1 и, учитывая определение первой конечной разности, получим:

(4.11)

Аналогично, вычислив а₂,…, а_n, и подставляя эти выражения в (4.8), получим:

(4.12)

Формулу (4.12) называют второй ИФН. С целью уменьшения вычислительной

погрешности сделаем линейное преобразование , тогда

и т.д. Подставляя эти значения в (4.12), получим:

. (4.13)

Если вычислить f(1,65) по второй ИФН (4.13), получим f(1,65)=2,304+0,0263(-0,5)-0,0017(-0,5)(0,5)/2=0,2173. Сопоставляя полученное значение с табличным, делаем вывод, что оно вычислено с тремя верными знаками.

Оценка точности интерполяционных формул

При интерполяции алгебраическими полиномами n-го порядка, по заданнымзначениям функции f(x) в (n+1)-ом узле, находим многочлен P_n(x), проходящий через эти точки. В этих условиях имеет место неравенство:

(4.14)

где f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) - (n+1)-ая производная функции f(x). Проанализируем формулу (4.14).

Слева стоит абсолютная разность между точным значением f(x) и его приближением Р_n(x), т. е. абсолютная погрешность, а правая часть выражения (4.14) представляет оценку этой погрешности, т. е. предельную абсолютную погрешность. Неравенство (4.14) позволяет ответить на вопрос: от чего зависит точность интерполяции.

Начнем с множителя Как известно, значения производныхменьше для гладких функций с небольшими значениями grad(f(x)) и, наоборот, чем сильнее флуктуирует функция (значит большие значения grad(f(x))), тем больше и значения ее производных. Отсюда следует, что интерполяция точнее для более гладких функций.

Если с этой позиции посмотреть на геологические карты, то можно сказать следующее. Структурные карты более гладкие, особенно для условий Западной Сибири, по сравнению с картами эффективных нефтенасыщенных толщин h_эн. Значит, при одном и том же числе измерений труктурная карта имеет более высокую точность чем карта h_эн.

Далее, в знаменателе (4.14) стоит значение очень быстро растущей функции (n+1)!. Отсюда должно следовать, что с увеличением n, повышается и точность интерполяции. Но на практике это не выполняется. Дело в том, что неравенство (4.14) выведено без учета погрешностей измерений и конечныхразностей.

Как было показано ранее, с ростом n вычислительные погрешности конечных разностей растут очень быстро, и в геологической практике интерполяционные полиномы Р_n(x) при n5 практически не используются.

Наконец, рассмотрим последний сомножитель формулы (4.14)

.

Он представляет собой алгебраический полином (n+1)–го порядка с корнями х₀, х₁,…х_n, обозначим этот полином w_n+1(х). Схематично его поведение показано на рис. 2.

Рис.2. Схема изменения полинома w_n+1(х)

Из геометрии w_n+1(х) следует, что:

• интерполяция имеет самую высокую точность в центре отрезка [x₀, x_n];

• точность интерполяции ухудшается при движении интерполируемой

точки к краям отрезка [x₀, x_n];

• экстраполяция всегда менее точна, чем интерполяция в узком смысле.