Интерполирование функции Конечные разности и их свойства.

х х₁ х₂…х_n

y y₁ y₂…y_n (4.1)

Пусть

Подробнее:

Определение. Выражение называют первой конечной разностью.

Если y=f(x):

(4.2)

Свойства конечных разностей

1. Разностный оператор линеен:

(4.3)

Пример.

2.

Таблица конечных разностей

х	у	Dу	D2у	D3у
х0 х1 х2 х3	у0 у1 у2 у3	Dу0 Dу1 Dу2	D2у0 D2у1	D3у0

Связь конечных разностей и производных

Пусть y=f(x) непрерывна и имеет непрерывные производные до n-го порядка включительно f⁽ⁿ⁾(x) на отрезке [x, x+n∆x], тогда справедлива формула:

Постановка задачи интерполирования функции

Пусть на отрезке [a, b] заданы точки х₀, х₁,…,х_n и известны значения функции f(x) в этих точках:

f(x₀)=y₀, f(x₁)=y₁,…, f(x_n)=y_n.

Требуется построить функцию F(x), принадлежащую известному классу R и принимающую в узлах интерполяции значения y_i:

F(x_i)=y_i, i=0, 1,…,n. (4.1)

Функция f(x) называется интерполируемой, а F(x) – интерполирующей. Точки х₀, х₁,…,х_n будем называть узлами интерполяции. Другими словами, задача интерполяции заключается в подборе графической или аналитической функции F(x) для таблично заданной f(x). Причем требуется, чтобы интерполируемая f(x) и интерполирующая функция F(x) совпадали в узлах интерполяции.

В приведенной постановке задача не корректна, а именно, имеет бесчисленное множество решений. Этот факт наглядно продемонстрирован на рис.(см.лекции)

На рис. приведены две различные кривые F₁(x) и F₂(x), удовлетворяющие условиям (4.1), т.е. являющиеся решением задачи интерполяции. Очевидно, что таких кривых можно начертить бесчисленное множество.Для некоторых классов функций R, например, классов алгебраических полиномов степени n - P_n(x), как будет показано ниже, задача интерполяции имеет единственное решение.

Далее будем различать два аспекта задачи интерполяции функций.

1. Пусть х_p – точка, в которой вычисляется интерполирующее значение. Если точка х_р принадлежит отрезку [x₀, x_n]: х_pÎ[x₀, x_n], то задачу интерполяции называют интерполяцией в узком смысле.

2. Если точка х_p не принадлежит отрезку [x₀, x_n], т.е. х_pÏ[x₀, x_n], то задача называется экстраполяцией.

Эти аспекты в задаче интерполяции функций различаются в связи с тем, что экстраполяция всегда существенно менее точна, чем интерполяция в узком смысле. Этот важный момент более подробно будет рассмотрен ниже.

Первая интерполяционная формула Ньютона

Пусть для функции y=f(x) заданы значения y_i=f(x_i) для равноотстоящихзначений независимой переменной: х_i=х_о+ih (i= 0,1,2,...,п), где h - шаг интерполяции. Требуется подобрать полином Р_п (х) степени не выше п, принимающий в точках x_i значения y_i:

P_n(x_i)=y_i, (i = 0, 1,...,n). (4.2)

Следуя Ньютону, будем искать полином Р_п(х) в виде:

Р_п(х) = а_о+а₁(х - х₀) + а₂ (х-х₀)(х-х₁) +а₃(х - х₀)(х – х₁)(х - х₂) +...+а_п(х - х_о)(х – х₁)...(х - х_п-1). (4.3)

Наша задача состоит в определении коэффициентов а_i (i = 0, 1, 2, ...,n) полинома Р_п(х). Полагая х=х₀ в выражениях (4.2) и (4.3), получим:

Р_п (х)=у₀=а₀.

Чтобы найти коэффициент a₁, положим в выражениях (4.2) и (4.3) х=х₁, получим: Р_п (х₁)=Dу₀=а₁h

Откуда (4.4)

Для определения коэффициента а₂ аналогично подставляем х=х₂ в (4.2) и (4.3), тогда

Последовательно продолжая этот процесс, обнаружим что (i=0, 1, 2,…,n), где

положено 0!=1.

Подставляя найденные значения коэффициентов а_i (4.4) в выражение (4.3), получим интерполяционный полином Ньютона (ИПН):

(4.5)

Формула (4.5) потенциально содержит большие погрешности, т.к. все члены правой части кроме первого содержат в знаменателе выражение h_k. При малом значении h это приводит к делению на очень маленькие числа. А такие операции приводят к большой потере точности.

Уменьшить вычислительную погрешность формулы (4.5) позволяет линейное преобразование t= , тогда

и т.д.

С учетом рассмотренного преобразования формула (4.5) принимает вид:

(4.6)

Это и есть окончательный вид первой интерполяционной формулы Ньютона.

Пример. Конечные разности для таблично заданной функции приведены в таблице

Таблица 3

х	у			Dу		D2у	D3у	D4у
1		2	3		4		5	6
1,2		0,0792	0,0347		-0,0025		-0,0003	-0,0001
1,3		0,1139	0,0322		-0,0022		-0,0002	0,0001
1,4		0,1461	0,0300		-0,0020		-0,0003
1,5		0,1761	0,0280		-0,0017
1,6		0,2041	0,0263
1,7		0,2304

Для функции заданной таблично в столбцах (1) и (2) табл. 3 требуетсявычислить значение при х=1,25. Так как конечные разности D⁴у_i практическиравны нулю, их незначительные по абсолютной величине значения обусловлены ошибками округления, поэтому имеет смысл строить интерполирующий многочлен третьего порядка.

Вначале вычислим

Тогда

f(1,25)=0,0792+0,5×0,0347+(-0,0025)×0,5×(-0,5)/2+(-0,0003)×(-0,25)×(-1,5)/6=

=0,09686.

Приведенные в таблице 3 значения (х_i, у_i), i=1, 2,… есть значения функции lg(х), даны они с четырьмя верными знаками после запятой. Ее значение по таблице lg(1,25)=0,0969, причем все значащие цифры верны. Отсюда следует, что интерполирующее значение вычислено тоже с четырьмя верными знаками после запятой.

Замечание 1. Заметим, что при h→ 0 формула (4.5) превращается в ряд Тейлора для функции у.

В самом деле,

Кроме того, очевидно,

Отсюда при h® 0 формула (4.5) принимает вид полинома Тейлора:

Замечание 2. Рассмотрим частные случаи формулы (4.6). При n=1 (4.6) принимает вид: Р₁(х)=у₀+у₀t, т. е. линейной интерполяционной формулы, а при n=2 P₂(x)=y₀+у₀ t+²у₀ - квадратичной или параболической формулы интерполяции.