Определения по МЛиТА

Двоичной функцией от переменных называется функция , аргументы и значения которой выбираются из множества , т.е. , где

Двоичные функции от n переменных также называют булевыми функциями от n переменных или n –местными булевыми функциями.

Множество истинности булевых функций – это множество наборов значений переменных, на которых принимает значение 1.

Способы задания б.ф.: табличное, графическое, геометрическое, формулами.

Булева функция называется монотонно возрастающей, или монотонной, если для любых наборов выполняется условие:

||f|| - вес функции f - это мощность области истинности (области истинности - множество двоичных наборов на которых функция принимает значение истинности, т.е f =1)

Элементарной конъюнкцией называются формулы вида , где все переменные различны. Рангом элементарной конъюнкции называется число входящих в неё переменных.

Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) называется формула вида , где дизъюнкция берется по некоторым наборам , и , .

Теорема о разложении функции. При любом , , двоичную функцию можно представить в виде:

Совершенной ДНФ (СДНФ) называется при .

Заметим, что СДНФ является частным случаем ДНФ. В ней все элементарные конъюнкции имеют ранг . Отличительной особенностью СДНФ является то, что она однозначно определяется по функции .

Сокращённой ДНФ называется дизъюнкция всех простых импликант функции f.

Импликантами двоичной функции f называются элементарные конъюнкции, входящие во всевозможные ДНФ функции f. Импликанта функции f называется простой, если все элементарные конъюнкции, полученные из неё удалением некоторых переменных, не являются импликантами функции f.

Элементарной дизъюнкцией называется формула вида , где все переменные различны.

Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) называется формула вида , где конъюнкция берется по некоторым наборам , , .

Многочленом Жегалкина (приведенным многочленом) называется представление двоичной функции формулой вида:

, где .

Степенью нелинейности многочлена называется максимальная степень его одночлена. Обозначается .

Критерий полноты системы булевых функций.

Система булевых функций полна тогда и только тогда, когда она не содержит хотя ни в одном из следующих классов: T₀, T₁, S, A, M.

Псевдобулевы функции отличаются от булевых, тем что отображение множества не на F₂ (в б.ф.) а на поле Р.

Функцией k-значной логики, или k-значной функцией от переменных при называется произвольное отображение k - значными функциями от 0 переменных называются функции- константы .

Обозначим через и множества всех k-значных функций и k-значных функций от переменных.

Функции к-значной логики.

Пусть , где .

Переменная x_i , или i-ая переменная двоичной функции f(x₁,... , x_n) называется существенной переменной функции f (т.е. функция f существенно зависит от x_i), если существует набор (a₁,..., a_i-1, a_i+1,..., a_n)  такой, что f (a₁,..., a_i-1,0, a_i+1,..., a_n) f (a₁,..., a_i-1,1, a_i+1,..., a_n), в противном случае переменная x_i называется несущественной (фиктивной) переменной функции f.

Элементы машины Тьюринга: лента, считывающая/пищащая головка, управляющее устройство.

Работа машины Тьюринга определяется системой команд вида . (1)

где - внутреннее состояние машины,

- считываемый символ,

- новое внутреннее состояние,

- новый записываемый символ,

- направление движения головки, обозначаемой одним из символов L (влево), R (вправо), Е (на месте).

Предполагается, что для каждой пары , где ; имеется точно одна команда вида (1). Множество этих команд называется программой машины и, значит, в программе имеется n(m+1) команд.

Работа машины заключается в изменении конфигураций.

Конфигурация представляет собой совокупность внутреннего состояния, состояния ленты (т.е. размещения букв внешнего алфавита по ячейкам или слова, записанного на ленте), положения головки на ленте.

Активной зоной назовем минимальную часть ленты, содержащую обозреваемую ячейку, а также все ячейки, в которых записаны непустые символы.

Активной зоной конфигурации назовем минимальную связную часть ленты, содержащую обозреваемую ячейку, а также все ячейки, в которых записаны непустые символы.

Алгоритм – это то, что можно запрограммировать в ЭВМ

Тезис Тьюринга - любой алгоритм может быть реализован на подходящей машине Тьюринга.

Утверждение о несуществовании машины Тьюринга для решения конкретных задач равносильно утверждению о несуществовании алгоритма решения этих задач.

Машина произвольного доступа (МПД) состоит из бесконечного числа регистров в каждом из которых может быть записано натуральное число из .

Тезисы Черча:

1. Введенный класс вычислимых функций в точности отвечает классу алгоритмически вычисленных функций.

Тезис Черча (для частично рекурсивных функций): Класс алгоритмически вычислимых функций совпадает с классом всех частично рекурсивных функций.

Функция называется частично рекурсивной (вычислимой по Черчу), если она может быть получена из базисных функций , , применением конечного числа раз операций суперпозиции, рекурсий и минимизацией.

Всякая частично рекурсивная функция вычислима на подходящей машине Тьюринга.

Базисные функции и операции с ними

нуль-функция - ;

функция следования - ;

функция выбора аргументов , ,

Теорема Яблонского: любая функция из P_n представима многочленом по mod k <=> k- простое.

Для произвольного класса системы двоичных функций множество всех двоичных функций, представимых формулами, над , называется замыканием класса (системы) функций и обозначается через .

Свойства замыкания:

1.

2.

3.

Предикат:

Пусть - произвольное непустое множество, и . - декартовая степень множества .

Любое отображение называется -местным предикатом на множестве . -местный предикат, содержащий переменные обозначим через . Переменные принимают значения из множества . Если - значение предиката при , то будем писать .

Мощности T₀, T₁, S, A, M:

Спектральное представление булевой функции:

Вектор коэффициентов называется спектром Фурье, а его координаты – коэффициентами Фурье б.ф. .

Вектор коэффициентов называется спектром Уолша, а его координаты – коэффициентами Уолша б.ф. .

Некоторые обозначения:

E₂ⁿ –множество двоичных наборов состоящее из n элементов

P₂ - система б.ф.

P₂ (n) - система б.ф. от n переменных

||f|| - вес. функции f = мощность области истинности (области истинности - множество двоичных наборов на которых ф-ия принимает значение истинности, т.е f =1)

f(x₁,…,x_n) – ф-ия (?) от n переменных x₁,…,x_n

x₁x₂ - дизъюнкция

x₁x₂ - конъюнкция

x₁→ x₂ - импликация

x₁x₂– сложение по модулю 2

x₁ | x₂ - функция Шеффера

x₁ ↓ x₂ - функция Пирса