Вполне упорядоченные множества
Фундированные линейно упорядоченные множества называются вполне упорядоченными, а соответствующие порядки - полными. Для линейных порядков понятия наименьшего и минимального элемента совпадают, так что во вполне упорядоченном множестве всякое непустое подмножество имеет наименьший элемент.
Вполне упорядоченное множество имеет наименьший элемент. (Непосредственное следствие определения.)
Для каждого элемента
вполне
упорядоченного множества (кроме
наибольшего) есть непосредственно
следующий за ним элемент 
(это
значит, что 
,
но не существует 
,
для которого 
).
В самом деле, если множество всех
элементов, больших
,
непусто, то в нем есть минимальный
элемент
,
который и будет искомым. Такой элемент
логично обозначать 
,
следующий за ним - 
и
т.д.Некоторые элементы вполне упорядоченного множества могут не иметь непосредственно предыдущего. Например, в множестве
есть
два элемента, не имеющих непосредственно
предыдущего (наименьший элемент, а
также наименьший элемент второй копии
натурального ряда). Такие элементы
называют предельными.Всякий элемент упорядоченного множества имеет вид
,
где
-
предельный, а 
-
натуральное число (обозначение
понимается
в описанном выше смысле). В самом деле,
если
не
предельный, возьмем предыдущий, если
и он непредельный - то его предыдущий
и т.д., пока не дойдем до предельного
(бесконечно продолжаться это не может,
так как множество вполне упорядочено).
Очевидно, такое представление однозначно
(у элемента может быть только один
непосредственно предыдущий).Любое ограниченное сверху множество элементов вполне упорядоченного множества имеет точную верхнюю грань. (Как обычно, подмножество
частично
упорядоченного множества
называется ограниченным
сверху,
если оно имеет верхнюю
границу,
т.е. элемент 
,
для которого 
при
всех 
.
Если среди всех верхних границ данного
подмножества есть наименьшая, то она
называется точной
верхней гранью.)
В самом деле, множество всех верхних границ непусто и потому имеет наименьший элемент. (Заметим в скобках, что вопрос о точной нижней грани для вполне упорядоченного множества тривиален, так как всякое множество имеет наименьший элемент.)
Отметим сразу же несколько простых свойств начальных отрезков:
Начальный отрезок вполне упорядоченного множества (как, впрочем, и любое подмножество) является вполне упорядоченным множеством.
Начальный отрезок начального отрезка есть начальный отрезок исходного множества.
Объединение любого семейства начальных отрезков (в одном и том же упорядоченном множестве) есть начальный отрезок того же множества.
Если - произвольный элемент вполне упорядоченного множества , то множества
(все
элементы множества
,
меньшие
)
и 
(элементы
множества
,
меньшие или равные
)
являются начальными отрезками.Всякий начальный отрезок
вполне
упорядоченного множества
,
не совпадающий со всем множеством,
имеет вид
для
некоторого 
.
(В самом деле, если 
,
возьмем наименьший элемент
в
множестве 
.
Тогда все меньшие элементы принадлежат
,
сам
не
принадлежит
и
все б\'ольшие
элементы
не принадлежат
,
иначе получилось бы противоречие с
определением начального отрезка.)Любые два начальных отрезка вполне упорядоченного множества сравнимы по включению,т.е. один есть подмножество другого. (Следует из предыдущего.)
Начальные отрезки вполне упорядоченного множества , упорядоченные по включению, образуют вполне упорядоченное множество. Это множество состоит из наибольшего элемента (все ) и остальной части, изоморфной множеству . (В самом деле, начальные отрезки множества , не совпадающие с , имеют вид , и соответствие
будет
изоморфизмом.)
Теорема 17. Пусть множество A вполне упорядочено, а отображение f : A → A возрастает (то есть f(x) < f(y) при x < y). Тогдаf(x) > x для всех x ∈ A.
Согласно принципу индукции (теорема 15, с. 52) достаточно доказать неравенство f(x) > x, предполагая, что f(y) > y при всех y << x. Пусть это не так и f(x) < x. Тогда по монотонности f(f(x)) < f(x). Но, с другой стороны, элемент y = f(x) меньше x, и потому по предположению индукции f(y) > y, то есть f(f(x)) > f(x).