1. Начала теории множеств 1.1Множества. Операции на множествах. Булеан. Свойства операций над множествами. Теорема Кантора. 1.2 Отношения. Свойства отношений. Функции. Формула включений и исключений (доказательство методом математической индукции) 1.3 Мощность множества. Формула включений и исключений (её вывод через мощности для случая двух множеств и её вывод через характеристические функции для случая n множеств). 1.4 Теоремы о счётных и несчётых множествах (с доказательствами) 1.5 Равномощные множества. Счётные несчётные множества, множества мощности континуума. Теорема Кантора. 1.6 Теорема Кантора-Бернштейна.  1.7 Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности. Фактор множества. Разбиения и покрытия. Классы эквивалентности и разбиения. 1.8 Отношение порядка. Плотные множества. Изоморфизм упорядоченных множеств.   1.9 Фундированные множества и принцип математической индукции.  1.10 Вполне упорядоченные множества. Начальные отрезки. Теоремы о начальных отрезках. 1.11 Теорема Цермело (без доказательства), пример упорядочивания. Лемма Цорна. 2. Основы высшей алгебры 2.1 Алгебра и модель. Замыкания и свойства замыкания,  подалгебры. Свойства операций. Основные алгебраические структуры. 2.2 Морфизмы групп. Свойства Изоморфизма и гомоморфизма. 2.3 Полугруппа. Моноид. Группа. Основные свойства групп. Таблицы Кэлли.  2.4 Группы преобразований. Смежные классы. Группа перестановок. 2.5 Подгруппы. Смежные классы. Группы симметрии правильных n-угольников.

Лемма Цорна. (пусть Z - ч.у. множество, в котором любая цепь имеет верхнюю границу. Тогда в этом Z есть минимальный элемент..) 1. по аналогии с доказательством теоремы Цермелло вводим порядок: перебираем эл-ты первой цепи, пока не закончим. Следующим элементом нашего множества будет эл-т из следующей цепи, в соответствие которому поставлена вся первая цепь. За ним эл-т, которому будет поставлено в соответствие первая цепь +предыдущий эл-т и так далее. 2. таким образом мы переберем все цепи. А элементы в получившемся множестве будут сравнимы. 3. элемент, которому в соответствие будут поставлены все цепи/сам этот эл-т, является максимальным

Формула включений и исключений методом мат. индукции.  1. необходимо знать сам принцип мат.индукции 2. для того, чтобы применять индукцию, необходимо показать, что рассматриваемое множество фундированное. (через 1 или 2 свойство) 3. объяснить, что за множество, на котором мы данное свойство проверяем. (эл-тами являются объединения множеств: 2ух, 3ех, 4ех и т.д.) 4. вводим порядок (по кол-ву объединяемых множеств) -> показываем, что множество является фундированным -> можем использовать мат. индукцию 5. теперь нам необходимо показать: 1) свойство выполняется для 1 эл-та; 2) можем вывести свойство из его выполнения для предшествующих элементов Пункт 1) очевиден и нами рассматривался на практике Пункт 2). Предполагаем, данное свойство верно для объединения n-1 элементов (множеств) и показываем, что из этого следует выполнение свойства для объединения n множеств. (база индукции)

Формула включений и исключений через характеристические функции. 1. U - универсальное множество; А1, А2, ..., Аn - подмножества U. Даем определение характеристической функции (также в доказательстве нам потребуется хар. функция пересечения множеств и дополнения до множества). 2. выражаем мощность множества через характеристическую функцию |A| = сумма хар. ф-ий всех эл-тов данного множества 3. пользуясь законом де Моргана выражаем объединение наших ф-ий через дополнение к пересечению дополнений данных ф-ий. записываем полученное выражение через характеристические ф-ии, выполняем арифметические действия и вновь возвращаемся к функциям. (последний пункт тяжело понять без наглядной записи действий, но поможет в понимании доказательства, приведенного в Верещагине)

Теорема Цермелло. (любое множество может быть вполне упорядоченно) при ответе: 1. определение вполне упорядоченного множества (фундир. и линейно упор.) 2. понимать, что порядок, который мы задаем, чтобы множество было вполне упорядоченно - это не тот порядок, который задан изначально. Доказательство (этапы): 1) берем множество (любое, например, Q) 2) задаем искомый порядок, который может быть распространен на все элементы множества 3) после того, как определили данный порядок любые 2 элемента множества стали сравнимы по нашему новому порядку (множество линейно упорядоченно) 4) показать, что данное множество фундировано (любые элементы множества соседние и в множестве есть минимальный элемент) -> множество лин.упор. и фундированное -> вполне упорядоченно

1. Понятие множества обычно принимается за одно из исходных (аксиоматических) понятий, то есть не сводимое к другим понятиям, а значит, и не имеющее определения.

Операции:

Элементы, подмножество, равны, собственное подмножество, пустое множество, пересечение, объединение, разность (+дополнение),

симметричная разность A∆B=(A\B) U (B\A)=(AUB)\(A/\B), запись через {a,b,c}

 — множество. Множество всех подмножеств множества   называется булеаном  .

Обозначается  .

Коммутативность A  B=B  A A  B=B  A	Ассоциативность. (A  B)  C=A  (B  C) (A  B)  C= A  (B  C)	Дистрибутивность. (A  B)  C = (A  C)  (B  C) (A  B)  C= (A  C)  (B  C)
	 A  A=A, A  A=A A  = A, A 

Де Морган:

1.4

Теорема 1. Всякая часть счётного множества есть либо конечное, либо счётное подмножество. Доказательство: Начнём нумерацию части множества. Процесс или оборвётся, или продолжится бесконечно.

Теорема 2. Объединение двух счётных множеств является счётным множеством. Доказательство: Пусть элементы множества А – а1, а2,.., и элементы множества B – b1, b2,… Тогда нумерацию проведём следующим образом: a1, b1, a2, b2 и так далее.

Объединение конечной или счётной совокупности конечных или счётных множеств конечно или счётно.

Доказательство

Если  , где все слагаемые являются множествами конечными или счётными, то, полагая для любого натурального числа m>k A_m=A_k, получим  , то есть случай конечного объединения сводится к случаю счётного объединения, каковой мы и будем дальше предполагать выполненным.

Занумеруем элементы множества A_n в последовательность

a_n1, a_n2,... a_nm...,  (*)

причём, если A_n конечно и содержит k_n элементов, то будем считать, что первые k_n членов этой последовательности попарно различны и исчерпывают всё множество A_n, а для m>k_n, полагаем a_nm=a_nkn.

Зададим теперь отображение   формулой f(n,m)=a_nm. . Тогда отображение f сюръективно. Действительно, если   есть любой элемент из А , то он принадлежит некоторому слагаемому A_n и потому совпадает с каким-ни6удь членом проследовательиости (*):a=a_nm. Ясно, что в таком случае пара натуральных чисел (n,m) будет проо6разом элемента   относительно отображения  . Итак, А есть образ счетного множества   при отображении f. Поэтому А конечно или счетно.

3: Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.

Пусть множество B бесконечно. Тогда оно содержит хотя бы один элемент a₁. В силу бесконечности B в нём найдется элемент a₂, отличный от a₁. Так как злементы a₂ и a₁ не исчерпывают всего множества B, то в нём найдется элемент a₃, отличный и от a₂ и от a₁. Если уже выделено n элементовa₁, a₂,...a_n, то в силу бесконечности B в нём найдётся еще один элемент, который обозначим a_n+1, отличный от всех ранее выбранных элементов. Таким образом, для каждого натурального числа n можно выделить элемент a_n из B, причём все выделенные элементы попарно различны. Выделенные элементы образуют последовательность a₁, a₂,...a_n.... Множество её членов по определению счётно, и это множество есть часть B.

4. M –несчтёное, А – счётное, то M ~ (M/A)

5. Если множество B бесконечно, а А конечно или счетно, то  .

Согласно теореме 3 множество B содержит счётное подмножество С. Множество A\B как часть конечного или счетного множества A само конечно или счётно. Поэтому по теореме 8 множество   счетно. Нетрудно проверить (и это предлагается проделать самостоятельно) справедливость следующих двух равенств:

1. 

2. 

Очевидно,   и  . Так как B\C~B\C, и в силу счётности множеств C и   они тоже эквивалентны, то по теореме 3 главы 1 

6. ∞ множество содержит ∞ подмножество

7. Множество Р всех пар натуральных чисел является счетным множеством. Отступление: Под парой натуральных чисел понимают два натуральных числа данных в определённом порядке. Доказательство: Назовём высотою пары (n, m) натуральное число n+m. Очевидно, имеется ровно k-1 пар данной высоты k, где k>1, именно (1, k-1), (2, k-2), . . . , (k-1, 1). По этому обозначая через Рk множество всех пар высоты k, видим что множество Р есть объединение счётного множества конечных множеств Рk, а отсюда по теореме 7 получаем что множество Р является счётным множеством

8. Q – счётно

9. Множество подмножеств из n элемнтов счётного множества счётно. |B|x|B|x|B|

Теорема 16. Пусть   и   - два фундированных частично упорядоченных множества. Тогда их произведение  , в котором

является фундированным.

Доказательство. В последовательности   стабилизируются сначала вторые, а затем и первые члены.

Отсюда вытекает аналогичное утверждение для  , для   или вообще для произведения конечного числа фундированных множеств.

Еще проще доказать, что сумма   двух фундированных множеств   и   фундирована: последовательность   либо целиком содержится в   (и мы ссылаемся на фундированность   ), либо содержит элемент из  . В последнем случае все следующие элементы также принадлежат  , и мы используем фундированность  .

Часто в программировании (или в олимпиадных задачах) нам нужно доказать, что некоторый процесс не может продолжаться бесконечно долго. Например, написав цикл, мы должны убедиться, что рано или поздно из него выйдем. Это можно сделать так: ввести какой - то натуральный параметр и убедиться, что на каждом шаге цикла этот параметр уменьшается. Тогда, если сейчас этот параметр равен  , то можно гарантировать, что не позже чем через   шагов цикл закончится.

Однако бывают ситуации, в которых число шагов заранее оценить нельзя, но тем не менее гарантировать завершение цикла можно, поскольку есть параметр, принимающий значения в фундированном множестве и убывающий на каждом шаге цикла.