Заключение. В основе спектрального анализа сигналов конечной длительности лежит представление их в виде суммы взвешенных элементарных сигналов, являющихся ортонорми-рованным базисом.

Совокупность весовых коэффициентов полностью характеризует сигнал и представляет собой его амплитудный Фурье-спектр.

В радиотехнике широкое распространение получил гармонический анализ, при котором элементарные сигналы представляют собой отрезки (на временном интервале определения) гармонических колебаний кратных частот. Гармонический анализ позволяет получить две важнейшие характеристики: АЧС-распределение амплитуд составляющих по частотам и ФЧС-распределение начальных фаз составляющих по частотам.

Гармонический анализ можно использовать как для периодических, так и для непериодических сигналов. Первые имеют линейчатый спектр, в котором расстояние между составляющими кратно частоте следования сигналов, спектр вторых – сплошной, состоящий из бесконечно большого числа примыкающих друг к другу составляющих бесконечно малой амплитуды. Наличие постоянной составляющей определяется видом сигнала.

Между длительностью сигнала и шириной его спектра существует связь: чем короче сигнал, тем шире область частот, которую он занимает, и наоборот.

Гармонический анализ, особенно для линейных цепей, является простым и удобным инструментом исследований.

Гармонический анализ широко используется для синтеза сигналов, обладающих требуемыми характеристиками.

Корреляционный анализ, в отличие от спектрального, позволяет непосредственно (без разложения на составляющие) по форме огибающей сигнала оценить его спектральные характеристики.

1. Какие сигналы являются ортогональными? 2. Что представляет собой ортонормированный базис функций? 3. Какие радиотехнические сигналы можно представлять рядами Фурье? 4. Какие формы рядов Фурье применяются в теории сигналов? 5. Какую информацию содержат амплитудный и фазовый спектры сигнала? 6. Почему для спектрального представления непериодических сигналов используют прямое преобразование Фурье, а не разложение в ряд Фурье? 7. Укажите размерность дискретного спектра и спектральной плотности сигнала. 8. Как связаны длительность простого сигнала с шириной спектра? 9. Какими основными свойствами обладает преобразование Фурье? 10. Что такое АКФ сигнала? 11. Какими свойствами обладает АКФ сигнала? 12. Как связаны спектральная плотность и АКФ сигнала?

Лекция 12 модулированные колебания и их спектры

Под модуляцией в радиотехнике понимается процесс, при котором один или несколько параметров несущего колебания изменяются по закону передаваемого сообщения. Полу­чаемые в процессе модуляции колебания называют радиосигналами. В ана­логовых системах связи радиосигналы передаются непрерывно во времени, и при модуляции могут изменяться амплитуда, частота или фаза несущего гармонического колебания. В зависимости от того, какой из названных па­раметров несущего колебания подвергается изменению, различают два ос­новных вида аналоговой модуляции: амплитудную и угловую. Последний вид модуляции, в свою очередь, разделяется на частотную и фазовую.

В современных и перспективных цифровых системах связи в качестве перспективных рассматриваются различные виды импульсной модуляции, при которой радиосигналы представляют­ся в виде так называемых радиоимпульсов.

1. Радиосигналы с амплитудной модуляцией

Несущее колебание имеет вид

(14)

где U_н – амплитуда в отсутствии модуляции; ω₀ – угловая (круговая) частота, причем ω₀ = 2πf₀; φ₀ – начальная фаза; ψ(t) – полная (текущая или мгновенная) фаза сигнала.

При амплитудной модуляции (АМ) амплитуда должна изменяться по закону:

где k_A – безразмерный коэффициент пропорциональности; е(t) – модулирующий сигнал. В радиотехнике функцию U_н(t) принято называть огибающей АМ - сигнала.

С учетом сказанного выражение для АМ - сигнала в общем виде имеет вид:

(15)

Рассмотрим простейший вид амплитудной модуляции, когда модулирующий сигнал представ­ляет собой гармоническое колебание

(16)

где E₀ — амплитуда; Ω = 2π/Т — круговая частота; Т — период; φ₀ — начальная фаза модулирующего колебания.

В литературе модуляция гармоническим колебанием получила название однотональной (от слова «тон» — ‘звук одной частоты’).

Для упрощения выкладок будем полагать, что начальные фазы несущего колебания и модулирующего сигнала равны нулю. Тогда, подставив формулу (16) в (15), получим выражение для АМ-сигнала:

Обозначив через ΔU = k_АЕ₀ максимальное отклонение амплитуды АМ-сигнала от амплитуды несущей U_н и проведя несложные преобразования, запишем

, (17)

где М = ΔU/U – коэффициент, или глубина амплитудной модуляции.

Рассмотрим спектр однотонального АМ - сигнала. Раскрывая скобки в выражении (17) и используя тригонометрическую формулу произведения косинусов, получим

Из выражения видно, что при однотональной модуляции спектр АМ-сигнала состоит из трех высокочастотных составляющих (рис. 90). Первая из них пред­ставляет собой исходное несущее колебание. Вторая и третья составляющие характеризуют новые гармонические колеба­ния, появляющиеся в процессе амплитудной модуляции и отражающие пере­даваемый сигнал.

Колебания с частотами ω₀ + Ω и ω₀ – Ω называются, соответственно, верхней и нижней боковыми составляющими. Амплитуды боковых составляющих оди­наковы, равны MU_н / 2 и расположены симметрично относительно несущей частоты сигнала. Ширина спектра АМ-сигнала при однотональной моду­ляции равна Δω_АМ = 2Ω = 2πF, где F — частота модуляции.

Рис. 90. Амплитудная модуляция:

а - несушее колебание; б - модулирующий сигнал;

в - АМ сигнал; г, е - соответствующие спектры

При М < 1 амплитуда АМ-сигнала изменяется в пределах от минимальной U_min = U_н (1 - М) до максимальной U_mах = = U_н (1 + М). Исключая по­стоянное значение U_н, получаем формулу, удобную для экспериментального опре­деления коэффициента модуляции:

.

Если же М > 1, то возникают искажения, называемые перемодуляцией (рис. 91). Наличие таких искажений в АМ-сигнале может привести к потере пере­даваемой информации.

Рис. 91. Искажения сигнала при перемодуляции

Рассмотрим векторную диаграмму при однотональной модуляции несущего колебания (рис. 92). На диаграмме каждая из трех составляющих АМ-сигнала представлена соответствующим вектором. На векторной диаграмме ось времени t вращается по часовой стрелке с угловой скоростью ω_о. Поэтому несущее колебание изображается в виде неподвижного век­тора ОА длиной U_н. Поскольку принято, что фазовый угол φ_о = 0, то ось времени совпала с вектором несущего колебания.

Верхняя U_в.б и нижняя U_н.б боковые составляющие изображаются на векторной диаграмме, соответственно, векторами АС и АД. Они составляют с направле­нием вектора несущей ОА углы ± Ωt и вращаются в противоположных направлениях с угловой скоростью Ω. Равнодействующим вектором боковых составляю­щих АС и АД является вектор модуляции АВ. Так как векторы боковых составляющих вращаются в проти­воположных направлениях с одной угловой скоро­стью и расположены симметрично относительно век­тора ОА, то суммарный вектор ОБ АМ-сигнала в лю­бой момент времени совпадает с направлением век­тора несущего колебания ОА. Длина суммарного век­тора ОБ периодически изменяется от максимальной до минимальной величин.

Рис. 92. Векторная диаграмма

однотонального АМ-сигнала

Из рассмотрения векторной диаграммы очевидно, что если при прохождении через электрические цепи нарушается равенство амплитуд боковых составляющих или симметрия их фаз относительно фазы несущего колебания, то возникает «качание» вектора модуляции относитель­но направления вектора несущей ОА. Это равносильно возникновению пара­зитной фазовой модуляции.

У колебаний, модулированных по амплитуде, различают следующие средние мощности:

• среднюю мощность Р_н за период Т₀ несущей частоты при отсутствии модуляции (режим несущей частоты или режим молчания);

• среднюю мощность Р за период Т₀ несущей частоты в режиме модуляции. С изменением амплитуды изменяется и средняя за период несущей частоты Т_о = 2π/ω₀ мощность модулированного колебания. Пикам огибающей соответствует мощность, в (1 + М)² раз большая мощности несу­щего колебания. При М = 1 пиковая мощность в 4 раза превышает мощность несущего колебания;

• среднюю мощность высокочастотных колебаний за период модуляции как среднее значение квадрата амплитуды колебания:

При преобразованиях учитывалось, что среднее значение модулирующего сигнала cos Ω t за период модулирующей частоты равно нулю, а среднее значение cos² Ω t = 0,5.

Таким образом, средняя мощность за период модуляции превышает мощ­ность несущего колебания (0,5 U_н²), всего лишь в (1 + 0,5М ²) раз. Доля же мощности обоих боковых составляющих АМ - сигнала даже при 100 % модуляции (М = 1) составляет всего лишь половину от мощности исходного несущего колебания. Поскольку полезная информация (передаваемое сообщение) заложена только в боковых составляющих радио­сигнала, можно отметить неэффективность использования мощности при ам­плитудной модуляции. Передатчик при АМ-передаче рассчитывается на максимальную мощность, а практически используется только незначительная ее часть. Вместе с тем на принципах амплитудной модуляции пока построено большинство радиовещательных систем, а также видеокана­лов в телевидении.

2. Разновидности сигналов с АМ

Реальный модулирующий сигнал имеет сложный спектральный состав. Математически такой сигнал, состоящий из N гармоник, можно представить тригонометрическим рядом

В этом соотношении амплитуды гармоник сложного модулирующего сигна­ла Е_i произвольны, а их частоты образуют упорядоченный спектр Ω₁ < Ω₂ < Ω₃ ... < Ω_i < ... < Ω_N , в котором частоты Ω_i не обязательно кратны друг другу.

После несложных преобразований получим вы­ражение АМ- сигнала с начальной фазой несущего φ_о = 0:

(18)

где М_i - совокупность частных коэффициентов модуляции.

Эти коэффициенты характеризуют влияние отдельных гармонических со­ставляющих сложного модулирующего сигнала на общее изменение амплиту­ды полученного высокочастотного модулированного колебания.

Выражение (18) можно представить в виде

Из полученного соотношения видно, что в спектре сложного АМ-сигнала наряду с несущим колебанием содержатся группы верхних и нижних боковых составляющих, являющихся масштабными копиями спектра модулирующего сигнала и рас­положенных симметрично относительно несущей частоты ω₀. На рис. 93 представлены примеры спектров при трехтональной амплитудной модуляции.

Рис. 93. Спектры при трехтональной АМ

Из вышесказанного нужно сделать следующие выводы:

- ширина спектра сложного АМ-сигнала равна удвоенному значению наивысшей частоты в спектре модулирующего сигнала Ω_Ν ;

- для определения спектра амплитудно-модулированного колебания достаточно сдвинуть на частоту ω_о огибающую спектра исходного колебания и зеркально отобразить ее относительно частоты ω_о;

- амплитуда ни одной из спектральных составляющих не может превышать половины амплитуды несущего колебания.

Значительная доля мощности АМ-сигнала сосредоточена в несущем коле­бании, которое является физическим переносчиком информации. Для более эффективного использования мощности передатчика в ра­диотехнических системах можно создать АМ-сигналы с подавленным несущим колебанием, реализуя так называемую балансную амплитудную модуляцию (БАМ).

Выражение для радиосигнала с однотональной балансной амплитудной модуляцией имеет вид

Несложно показать, что и при многотональной балансной модуляции ана­литическое выражение АМ-сигнала содержит две симметричные группы верхних и нижних боковых колебаний.

Несмотря на свои очевидные достоинства, балансная амплитудная моду­ляция не нашла широкого применения в системах связи и радиовещания ввиду сложностей технической реализации.

В современных системах радиосвязи часто приходится экономить не только мощность, но и полосу занимаемых частот. С этой целью формируют АМ-сигналы с подавленной верхней (или нижней) боковой полосой частот, получая колебание с одной боковой поло­сой (ОБП — или SSB-сигналы — от англ. single sideband). В более общем случае под сигналами с одной боковой полосой, или сигналами однополос­ной модуляции (ОМ), понимают колебания, полученные при модуляции гар­монической несущей частоты и отличающиеся тем, что их спектр (на поло­жительных частотах) располагается по одну сторону (слева или справа) от точки ω = ω₀. Сигналы с однополосной амплитудной модуляцией занимают полосу частот в два раза более узкую, чем обычный АМ-сигнал. Это обстоя­тельство и обусловливает большой интерес к системам связи с ОБП в тех случаях, когда экономия полосы частот канала является решающим фактором выбора системы сигналов.

По внешним характеристикам сигналы с одной боковой полосой напоминают обычные АМ-сигналы. В частности, однотональный ОБП-сигнал с подавленной нижней боковой составляющей и нулевыми начальными фазами несущей и модули­рующего колебания записывается в виде

Другой, еще более эффективной с точки зрения энергетических показателей разновидностью АМ-сигналов является однополосная амплитудная мо­дуляция с подавленной несущей (ОБП - ПН).

Данный вид амплитудной модуляции представляет собой такое преобразо­вание несущего колебания, при котором спектр радиосигнала полностью совпадает со спектром сообщения, перенесенным по оси частот в высо­кочастотную область нижней или верхней боковой полосы.