Основы теории спектрального и корреляционного анализа сигналов

В ра­диоэлектронике при анализе сигналов используется оригинальный прием, при ко­тором реальные, сложные по структуре и форме сигналы заменяют (представляют, аппроксимируют, декомпозируют) набором (взвешенной суммой) идеализированных математических моделей (сигналов), описываемых элементарными функциями. Это дает важный инструмент для анализа прохождения сигналов через радиотехнические цепи, прежде всего линейные. Подобным образом можно упростить обратную задачу — синтез сложных сигналов из совокупности простых.

Фундаментальная идея такого подхода принадлежит знаменитому французскому физику и математику Ж.Б. Фурье (1768 - 1830).

1. Основы теории спектрального представления сигналов

Аналитическое представление исследуемого сигнала с помощью системы некоторых взаимосвязан­ных элементарных функций времени (элементарных сигналов) составляет основу спектрального анализа. Систему таких функций

υ₀ (t), υ₁ (t), υ₂ (t), … υ_i (t), …,

здесь i = 1, 2, 3, ..., в математике называют базисной.

Представление сигнала u (t) элементарными моделями существенно упро­щается, если система базисных функций v_i (t) обладает свойст­вами ортогональности и нормированности. В матема­тике такую систему базисных функций называют ортонормированным базисом.

Две функции u(t) и v(t) ор­тогональны на интервале t₁ , t₂ , если их скалярное произведение (интеграл от произведения) равно

,

при том условии, что ни одна из этих функций не равна тождественно нулю.

Свойство ортогональности функций (в данном случае сигналов) обяза­тельно связано с интервалом их определения (рис. 84). Например, гармо­нические сигналы u₁(t) = sin(2πt/T₀) и u₂ (t) = sin(πt/T₀) ортогональны на лю­бом интервале времени, длительность которого равна целому числу полупе­риодов Т₀ (рис. 84а). Следовательно, в первом периоде сигналы u₁ (t) и u₂ (t) ортогональны на интервале 0 …. Т₀/2; однако на интервале 0 ... 3Т₀ /4 они уже не ортогональны. На рис. 84б сигналы ортогональны вследствие разновре­менности их появления.

Система функций является ортонормированной (нормированой к 1), если для любой пары функций из ортогональной системы выполняется условие

.

Рис. 84. Ортогональность сигналов:

а - на интервале; б - из-за разновременности появления

Таким образом, суть предложения Ж. Фурье заключается в том, что любое изме­нение во времени некоторой функции можно представить (аппрок­симировать) в виде конечной или бесконечной суммы ряда гармонических колебаний с разными амплитудами, частотами и начальными фазами. Этой функцией может быть, в частности, ток или напряжение в некото­рой электрической цепи.

Рассмотрим пример доказательства рассуж­дений Фурье (рис. 85). Периодическая, достаточно сложная по форме кривая (рис. 85а) это сумма двух синусоид разных, кратных частот: пер­вой (рис. 85б) и удвоенной (рис. 85в).

Пусть на заданном интервале времени t₁, t₂ действует произвольный не­прерывный сигнал u (t) и для его аппроксимации используется система идеализированных функций, являющаяся ортонормированной. Тогда данный сигнал может быть представлен обобщенным рядом Фурье:

(7)

где с_i - некоторые постоянные коэффициенты.

Рис. 85. К анализу Фурье:

а - колебание; б, в - первый и второй

аппроксимирующий сигналы

Для определения коэффициентов данного ряда выберем одну из базисных функций ν_к (t), с произ­вольным номером k. Умножим обе части выраже­ния (7) на эту функцию и проинтегрируем ре­зультат по времени. Получим

Вследствие ортонормированности базиса вы­бранных функций в правой части этого равенства все члены суммы при i ≠ k обратятся в нуль. Ненулевым останется только единственный член суммы с номером i = k, причем интеграл в правой части рассматриваемого выражения равен единице. Поэтому

Совокупность коэффициентов с_i полностью определяет анализируемый сигнал u (t) и называется его спектром.

Достаточно распространенное использование в теории сигналов обобщенного ряда Фурье связано с его очень важным свойством: при выбранной ортонормированной системе функций и фиксированном числе слагаемых ряда он обеспечивает наилучшую аппроксимацию заданного сигнала u (t). Это свойство ря­дов Фурье известно и доказано в математике.

В радиотехнике наибольшее применение получили ортонормированные базисы тригонометрических (синусоидальных и косинусоидальных) функ­ций. Это обусловлено следующим: гармонические колебания наиболее просто гене­рировать; гармоническое колебание теоретически полностью сохраняет форму при прохождении через любую линейную цепь с постоянными параметрами, а изменя­ются при этом лишь его амплитуда и начальная фаза. Операцию представления не­прерывных детерминированных сигналов в виде совокупности постоянной состав­ляющей и суммы гармонических колебаний с кратными частотами принято назы­вать спектральным разложением (представлением) или гармоническим анализом.

Следует заметить, что гармонический анализ не является единственным подходом спектрального разложения сигналов.

2. Гармоническое представление периодических сигналов

Рассмотрим спектральное разложение простейшего вида детерминированных сигналов – периодических. Периодическим называют любой сигнал, повторяющийся через регулярные интервалы времени и удовлетворяющий условию

где Т - период повторения импульсов.

В более общем виде периодическая по­следовательность импульсов (в радиотех­нике подобные импульсы любой формы – и экспоненциальный, и треугольный, и пр. – называют видеоимпульсами; происхождение этого термина связано с тем, что впервые такие сигналы были применены в телевизионной технике) описывается как

Здесь u₀ (t) – форма одиночного импульса, характеризующаяся следующими па­раметрами: амплитудой (высотой) h = E; длительностью (шириной) τ_и; периодом следования Т =1/F (F – частота следования); положением импульсов во времени относительно тактовых точек. Отметим, что если видеоимпульсы имеют не пря­моугольную форму, то появляется ряд дополнительных параметров.

При спектральном представлении периодических сигналов наиболее удобен ортонормированный базис гармонических функций:

, · сos ω₁t, · sin ω₁ t, …,

· cos n ω₁t, · sin n ω₁t,

где ω₁ - частота следования импульсов.

Представим периодический сигнал наиболее распространенной тригономет­рической формой ряда Фурье:

(8)

В этом соотношении имеются следующие компоненты сигнала:

- постоянная составляющая:

- амплитуды косинусоидальных составляющих

- амплитуды синусоидальных составляющих

(9)

Спектральную составляющую с частотой ω₁ в радиотехнике называют первой (основной) гармоникой, а составляющие с частотами ω_n (п > 1) – высшими гармониками периодического сигнала.

Из курса математики известно, что если сигнал представляет собой четную функцию времени u (t) = u (-t), то в тригонометрической записи ряда Фурье (8) отсутствуют синусоидальные коэффициенты b_n , так как в соответствии с формулой (9) они обращаются в нуль. Для сигнала u (t), определяемого не­четной функцией времени, наоборот, нулю равны косинусоидальные коэффици­енты а_n , и ряд содержит составляющие b_п.

С математической точки зрения часто удобнее выражение (8), описываю­щее заданный сигнал, представить в другой, эквивалентной форме ряда Фурье:

(10)

где А₀ = a/2, А_n = – амплитуда; φ_n - начальная фаза n-й гармоники.

В радиоэлектронике и теории сигналов также широко используется ком­плексный ряд Фурье

(11)

где комплексная амплитуда n-й гармоники равна

. (12)

Из соотношения (11) нетрудно выяснить, что спектральное представление периодического сигнала комплексной формой ряда Фурье содержит как поло­жительные, так и отрицательные частоты. Однако отрицательных частот в природе не существует, и это не физическое понятие, а математическая абст­ракция. Они появляются как следствие формального представления гармониче­ских колебаний комплексной формой. Легко показать, что при переходе от ком­плексной формы записи к тригонометрической (10) понятие «отрица­тельная частота» теряет смысл.

Наиболее наглядно о спектре радиотехнического сигнала можно судить по его графическому изображению – спектральной диаграмме. В теории сигналов различают амплитудно-частотные и фазо-частотные спектры. Совокупность амплитуд гармонических составляющих А_n носит название спектра амплитуд, Ф_n – спектра фаз, С_n – комплексного спектра (рис. 86).

Рис. 86. Амплитудный спектр периодической

последовательно­сти прямоугольных импульсов

На спектральных диаграммах по оси абсцисс откладывают угловую ω, или линейную f час­тоту (f = ω /2π), а по оси ординат — либо вещественную, либо комплексную амплиту­ду, либо фазу соответствующих гармонических составляющих анализируемо­го сигнала. Спектр периодического сигнала принято называть линейчатым, или дискретным, так как он состоит из отдельных линий, высота которых равна амплитуде соответствующих гармоник. Из всех видов спектров наиболее ин­формативен амплитудный, поскольку с его помощью можно оценить количест­венное содержание тех или иных гармоник в частотном составе анализируемого сигнала. В теории сигналов доказано, что амплитудный спектр является четной функцией частоты, а фазовый — нечетной.

При практических расчетах спектров периодических сигналов вычисление бесконечной суммы ряда Фурье вызывает определенные трудности, поэтому ограничиваются суммированием конечного числа слагаемых. Точность ап­проксимации исходного сигнала в этом случае зависит от количества сумми­руемых спектральных составляющих.

Проиллюстрируем это на примере аппроксимации суммой гармоник пе­риодической последовательности прямоугольных импульсов, у которых дли­тельность равна τ_и = Т/2 (рис. 87).

В этом случае, согласно тригонометрической форме ряда Фурье, ап­проксимирующая функция запишется в виде

На рис. 87 графически показано последовательное суммирование друг с другом 0, 1, 3 и 5-й гармоник. Из представленных графиков нетрудно заметить, как с увеличением количества суммируемых гармоник напряжения или тока результирующая гармоническая функция все точнее приближается к форме исходного сигнала везде, кроме точек его разрыва, в которых образуется выброс. При n → ∞ величина данного выброса составляет 9 % от амплитуды аппроксимируемого сигнала Е. Причем с увеличением числа суммируемых гармоник амплитуда выброса в точках разрыва не уменьшается, а его длительность становится бесконечно узкой.

Этот дефект сходимости аппроксимирующего ряда Фурье известен в математике и получил название явления Гиббса (американского физика, объяснившего его). По существу явление Гиббса обусловливает неустранимую погрешность аппроксимации. Для многих аналитических исследований явление Гиббса вызывает определенные трудности. Например, в звуковоспроизводящих системах подобное явление носит название звона. При этом каждый резкий согласный сопровождается коротким свистящим, неприятным для слуха звуком.

Наряду с гармоническим анализом сигналов широко используется гармонический синтез – получение заданных колебаний сложной формы на основе суммирования гармонических составляющих их спектра.

Рис. 87. Аппроксимация прямоугольных импульсов суммой гармоник

3. Спектральное представление непериодических сигналов

В теории спектрального представления непериодических (импульсных) сигналов используют искусственный прием, формально заменяя такие сигна­лы периодическими с бесконечно большим интервалом (периодом) следова­ния Т → ∞.

Положим, что некоторая заданная функция u (t) аналитически описывает одиночный импульсный (иногда называе­мый финитным) сигнал конечной дли­тельности (рис. 88а). Мысленно до­полнив его такими же импульсными сиг­налами, следующими с некоторым интер­валом Т (рис. 88б), получим перио­дическую последовательность анало­гичных импульсов u_n (t) = u (t + пТ).

Рис. 88. Одиночный импульс (а);

условно-периодическое представление (б)

Для того чтобы вне искусственно введенного интервала 0, Т исходный сигнал был равен нулю, необходимо увеличить период повторения импульсов.

В пределе при Т → ∞ все импульсы уйдут вправо и влево в бесконечность и периодическая последовательность вновь станет одиночным импульсом.

В этом случае выражения (11) и (12) сохраняют смысл. Под­ставив (12) в (11), запишем периодическую функцию:

Так как период следования равен Т = 2π/ω, то

(11.10)

Легко заметить, что при увеличении периода следования импульсов Т линей­чатый спектр будет все более плотным. В предельном случае, когда период Т → ∞, равные расстояния между спектральными линиями уменьшатся на­столько, что спектр станет сплошным, а амплитуды отдельных спектральных составляющих окажутся бесконечно малыми. При этом частота следования им­пульсов ω₁ = 2π/Т → 0 и превращается в dω, дискретная переменная nω₁ — в мгновенную (текущую) частоту ω, а сумма трансформируется в интеграл. Пе­риодическая последовательность импульсов u_n (t) станет одиночным импульсом, и выражение (12) запишется в виде

Интеграл в скобках является комплексной функции частоты. Обозначим его и получим

,

Представленные соотношения носят фундаментальный характер в теории сиг­налов и называются, соответственно, прямым и обратным преобразованиями Фурье. Они связывают между собой вещественную функцию времени (сигнал) u (t) и комплексную функцию частоты S (ω).

Таким образом, интеграл Фурье содержит непрерывную (сплошную) последовательность спектральных составляющих сигнала с бесконечно малыми амплитудами (рис. 89). Функцию S (ω) называют спектральной плотностью. Она харак­теризует интенсивность сплошного распределения амплитуд гармоник неперио­дического сигнала вдоль оси частот ω. В этом основное отличие спектральной плотности непериодического сигнала от дискретного спектра периодического сигнала, в котором каждая гармоническая составляющая имеет вполне опреде­ленное значение частоты и отстоит от соседней на величину ω₁ = 2π /T.

Необходимо отметить, что дискретный спектр периодического и спек­тральная плотность непериодического сигналов имеют разные размерности.

Дискретный спектр имеет размерность амплитуды сигнала В или А. Спектральная плотность имеет размерность В/Гц или А/Гц.

Вследствие того, что непериодический сигнал u(t) и его спектральная плотность S(ω) взаимно однозначно связаны парой преобразований Фурье,

последние позволяют аналитически отыскать спектральную плотность по за­данной форме сигнала, и наоборот, его форму по спектральной плотности.

а

б

| S ‌‌|

Е τ_н

-τ_н /2 0 τ_н /2 t

-4π/ τ_н 2π/ τ_н 0 2π/ τ_н 4π/ τ_н ω

Рис. 89. Прямоугольный импульс:

а - временная диаграмма; б - спектральная плотность

Сравнив выражения для спектральной плотности одиночного прямоуголь­ного импульса и спектра периодической последовательности таких же импульсов, нетрудно заметить, что модуль спектральной плотности и огибающая (огибающая — воображаемая линия, которая действительно «огибает» сигнал и имеет смысл максимальных значений его мгновенной ам­плитуды) гармоник дискретного спектра совпадают по форме и отличаются лишь масштабом по оси амплитуд.

Известный в математике принцип неопределенности В. Гейзенберга (применительно к одномерным сигналам) гласит: чем сильнее сигнал u (t) ло­кализован во времени (т.е. чем компактнее «колокол», накрывающий его), тем шире его спектр S (ω) «размазан» в пространстве частот ω. И наоборот: чем меньше ширина спектра S (ω),  тем большую часть оси времени занимает сигнал.

На практике шириной спектра считают эффективную область частот, в пределах которой сконцентрировано 90 ... 95 % энергии сигнала. Для колокольного и экспоненциального импульсов, имеющих теоретически бесконечную длительность, для удобства расчетов также вводят понятие эф­фективной длительности, подразумевая под этим интервал времени, в пре­делах которого сосредоточена основная доля энергии сигнала.

4. Основные свойства преобразований Фурье

Между сигналом u (t) и его спектральной плотностью S (ω) существует однозначное соответствие. Для практических целей важна связь между различными преобразованиями сиг­нала и соответствующими этим преобразованиям изменениями его спек­тральной плотности. Рассмотрим основные преобразования.

Сдвиг сигнала во времени (теорема запаздывания). Пусть сигнал u (t) со спектральной плотностью S (jω) задержан на некоторое время t_с. В этом случае u₂{t) = u₁(t - t_c), и спектральная плотность задержанного сигнала в соответствии с прямым преобразованием Фурье имеет вид

Введя новую переменную τ = t – t_с, получим

Таким образом, сдвиг сигнала во времени на некоторый интервал t_c при­водит лишь к изменению аргумента спектральной плотности на величину ωt_с, а ее модуль остается неизменным. На практике сдвиг сигнала во времени осуществляется при аудио- и видеозаписи на различные носители. Сколь долго (теоретически) ни хранилась бы такая запись, спектр (и форма) сигнала не претерпит изменений.

Сложение, усиление и ослабление сигналов (теорема линейности). Сложение, усиление и ослабление сигналов относятся к линейным операциям, поэтому к ним применимо свойство линейности. Если имеется совокупность детер­минированных сигналов S₁ (t), S₂ (t), …, S_n (t), обладающих спектральными плотностями S₁ (ω), S₂ (ω), ..., S_n (ω), то суммарному (разностному) значению сигналов соответствует сумма (разность) их спектральных плотностей.

Смещение спектра сигнала (теорема смещения). Смысл данной теоремы за­ключается в следующем: если S₁ (ω) — спектральная плотность сигнала u (t), то спектральная плотность S₂ (ω + Ω), полученная путем сдвига исходного спектра по оси частот на величину Ω соответствует сигналу u₂ (t) = u₁ (t) e^{-j Ω t}. Действительно,

Подобное преобразование сигнала применяют в системах связи либо при пере­носе спектра сигнала из одной полосы частот в другую, либо при модуляции.

Изменение масштаба времени. Предположим, что в исходном сигнале u (t) из­менен масштаб времени таким образом, что аргумент t умножен на некоторый по­стоянный коэффициент b и u₂(t) = u₁(bt). Если b > 1, то происходит «сжатие» исход­ного сигнала; если же 0 < b < 1, то исходный сигнал «растягивается» во времени. Докажем это положение.

Спектральная плотность измененного сигнала равна

Введя новую переменную τ = bt, имеем

откуда

Таким образом, увеличение длительности импульсного сигнала любой формы в b раз сопровождается сжатием его спектра во столько же раз, и, наоборот, уменьше­ние длительности приводит к расширению спектра.

5. Основы теории корреляционного анализа сигналов

Корреляционный анализ «пришел» в радиотехнику в конце 40-х – начале 50-х гг. прошлого века, а фундаментальная теорема Хинчина-Винера связала его и гармонический анализ в единое целое.

На практике часто наряду со спектральным исследованием сигналов оказывает­ся полезным анализ характеристики, дающей представление о скорости изменения во времени, а также о длительности сигнала без разложения его на гармонические составляющие.

Пусть копия сигнала u (t - τ) смещена относительно своего оригинала u (t) на не­который интервал времени τ. Для количественной оценки степени отличия (связи) исходного сигнала u (t) и его смещенной во времени копии u (t - τ) используют авто­корреляционную (корреляционную) функцию (АКФ). Для детерминированного сигнала конечной длительности (финитного сигнала) аналитическая запись АКФ представляет собой интеграл вида

Формула показывает, что при отсутствии сдвига (τ = 0) АКФ имеет поло­жительное значение и достигает максимальной величины, равной энергии сигнала:

Такая энергия выделяется на резисторе с сопротивлением в 1 Ом, если к его выводам подключить некоторое напряжение.

Одним из важнейших свойств АКФ является четность: В (τ) = В (-τ), что не­трудно доказать математически. Действительно, если в выражении произве­сти замену переменной х = t - τ, то

.

По этому выражение для В (τ) можно представить в другом виде:

Для периодического сигнала с периодом Т, энергия которого бесконечно ве­лика (поскольку сигнал существует бесконечное время), вычисление АКФ по предложенной формуле неприемлемо. В этом случае определяют АКФ за период

АКФ любого периодического сигнала является четной. Между АКФ сигнала и его спектральной плотностью существует определенная связь.

Допустим, что некоторый импульсный сигнал u(t) имеет спектральную плотность S(ω). Определим АКФ, записав заданный сигнал в виде обратного преобразования Фурье

Для упрощения вычислений введем новую переменную х = t - τ. Затем, сделав в последнем выражении ряд перестановок, получим

.

Здесь интеграл

есть функция, комплексно сопряженная со спектральной плотностью сигнала. Поэтому формула примет вид

.

Функцию

называют энергетическим спектром (спектральной плотностью энергии) сигна­ла, который показывает распределение его энергии по оси частот. Фи­зическая размерность энергетического спектра сигнала – В²с/Гц.

Таким образом, выражение для АКФ аналогового детерминированного сигнала имеет вид

.

Как следует из этой формулы, автокорреляционная функция представляет собой обратное преобразование Фурье от энергетического спектра. Очевидно, имеется и прямое преобразование Фурье от автокорреляционной функции.

Прямое преобразование Фурье автокорреляционной функции соответ­ствует энергетическому спектру, а обратное преобразование Фурье энерге­тического спектра – автокорреляционной функции детерминированного сигнала.

Данные результаты имеют фундаментальное значение в радиоэлектронике и важны по двум причинам. Во-первых, исходя из распределения энергии по спектру, мы можем оценить корреляционные свойства сигналов: чем шире энергетический спектр сигнала, тем меньше интервал корреля­ции. Соответственно, чем больше интервал корреляции сигнала, тем короче (в частотной области) его энергетический спектр. Во-вторых, представленные соотношения позволяют экспериментально определить одну из функций по значению другой.

На практике часто удобнее вначале получить автокорреляционную функ­цию, а затем с помощью прямого преобразования Фурье вычислить энерге­тический спектр сигнала. Этот прием широко применяется при анализе свойств сигналов в реальном масштабе времени, т. е. без временной задержки при его обработке.