Классификация погрешностей измерений по форме выражения

По данному критерию все погрешности измерений подразделяют на 2 вида: абсолютные и относительные.

Абсолютная погрешность – погрешность, определяемая как разность результата измерения и истинного значения измеряемой ФВ, и выражаемая в принятых для данной ФВ единицах.

∆ = X – Q

Относительная погрешность измерения – погрешность, определяемая как отношение абсолютного значения к истинному значению измеряемой ФВ, и выражаемая в относительных единицах ((не)именованных).

В соответствии с этим определением относительную погрешность можно выразить следующим образом

При выражении погрешности в относительных единицах – процентах.

Учитывая напринципиальные отличия между результатом измерения X и истинным значением измеряемой ФВ Q (с точки зрения данного выражения), для относительной погрешности измерения можно записать следующее уравнение:

– неименованные единицы

–именованные единицы, в процентах

К относительным также относят приведенные погрешности средств измерений, которые определяют следующим образом:

– основная погрешность средства измерения

Q_норм – некоторая нормирующая величина

Чаще всего в качестве такой величины используют верхний предел измерения СИ либо больший из модулей предела измерений, если они неодинаковы, а нулевое значение находится в пределах диапазона измерения и другие варианты, выбираемые по ГОСТ 8.401-80.

Классификация погрешностей измерений по формам используемых оценок

Номенклатура оценок погрешности измерений, применяемых при их исследовании весьма разнообразно и их можно разделить на:

- качественные характеристики

- количественные оценки

Качественные характеристики погрешностей в простейшем случае ограничиваются указанием на их характер (детерминированный или стохастический).

Для систематических погрешностей дополнительно могут использоваться такие качественные характеристики как закон их изменения (постоянные, монотонно изменяющиеся, периодические), а при наличии более подробной информации могут приводится также функции, их описывающие.

Для случайных погрешностей основной качественной характеристикой является принятая за основу функция распределения плотности их вероятностей, используемая для аппроксимации статистического распределения таких погрешностей.

В практике метрологии используются такие функции как:

1. Функция нормального распределения (закон нормального распределения, закон Гаусса).

2. Функция равномерного (равновероятного) распределения

3. Функция распределения Симпсона (треугольное распределение)

4. Функция трапециевидного распределения

5. Функция распределения Релея

Случайная составляющая вызывает рассеивание результатов наблюдения в серии, обусловленное, проявлением случайных причин и носящее вероятностный характер.

Рассеяние результатов в ряду измерений – несовпадение результатов измерений одной и той же ФВ в ряду равноточных измерений, обусловленной действием случайных погрешностей.

Количественными характеристиками рассеивания результатов наблюдения являются:

1. Размах

2. Среднеарифметическая погрешность (по модулю)

3. Среднеквадратическая погрешность (стандартное отклонение)

4. Границы погрешности

Размах результатов измерений – оценка (R_н) рассеивания результатов единичных измерений ФВ, образующих ряд (выборку) из n измерений.

Может быть определен через экстремальное значение результатов наблюдения в серии по формуле:

R_н = X_max – X_min

Либо через отклонение отдельных результатов наблюдения в серии от некоторого фиксированного значения (чаще всего, среднеарифметического)

R_е = e_max – e_min

R_e = R_n

На точечной диаграмме размах определяется расстоянием между самой высокой и самой низкой точками диаграммы.

Более информативными количественными оценками погрешности являются среднеарифметическая погрешность (по модулю) и среднеквадратическая погрешность.

Среднеарифметическая погрешность рассчитывается по формуле:

Среднеквадратическая погрешность (СКП) - оценка рассеивания единичных результатов измерений в ряду равноточных измерений одной и той же ФВ около среднего их значения. По формуле:

Такую погрешность, исходя из уравнения ее определения называют среднеквадратическая погрешность результатов единичных измерений в ряду измерений.

В метрологический терминологии используется также термин среднеквадратическое отклонение (СКО) единичных результатов, в ряду измерений от их среднего арифметического значения.

Эту оценку иногда еще называют стандартной погрешностью измерений.

При обработке ряда результатов измерений, свободного от систематических погрешностей СКП и СКО представляют собой одну и ту же оценку рассеивания результатов измерений.

Границы погрешностей могут быть определены либо как предельные значения, либо как доверительные границы с обязательным указание попадания погрешности в них.

В качестве предельных значений или границ могут использоваться верхняя и нижняя границы погрешностей ∆н и ∆в, либо -∆ и +∆, либо значение модуля погрешности ∆ (в случае когда выполняется условие |-∆| = |+∆|), либо значение модуля погрешности равное большему из значений |-∆| и |+∆|, в случае когда они не равны.

Доверительные границы погрешности результата измерения – наибольшее и наименьшее значение погрешности измерений, ограничивающее интервал, внутри которого с заданной вероятностью находится искомое (истинное) значение погрешности результата измерений.

Доверительные границы погрешности результата измерений вычисляются как

или

и – среднеквадратические погрешности соответственно единичного и среднеарифметического значения результатов измерений.

t – доверительный коэффициент, зависящий от принятой доверительной вероятности p и числа результатов наблюдений n. Этот коэффициент выбирают по таблице в зависимости от принятых за основу функции распределения плотности вероятности для аппроксимации статистического распределения погрешностей.

В практике измерений, значение доверительной вероятности p чаще всего принимают равной 0,95 (95%).

Иногда вместо термина доверительная граница, применяют термин доверительная погрешность или погрешность при данной доверительной вероятности.

Термин среднеквадратическая погрешность результата измерений (среднеарифметического значения) введен вместо ранее применявшегося термина среднеквадратическое отклонение результата измерений.

Значение этой оценки рассчитывается как СКО случайной погрешности среднеарифметического значения результата измерения одной и той же величины в данном ряду измерений по формуле:

Это говорит о том, что чем больше количество результатов наблюдений в серии n, тем меньше рассеивание результата измерения относительно истинного значения Q, следовательно выше сходимость измерений.

Предельная погрешность измерения в ряду измерений – максимальная погрешность измерения (с + или с -), допускаемая для данной измерительной задачи. За предельную погрешность измерений на практике часто применяют значение

Для оценки погрешности измерений с учетом не исключенных систематических составляющих погрешности их оценки объединяют со случайными составляющими.

Комплексную оценку называют суммарная СКП результата измерения.

Такую оценку вычисляют по формуле:

– СКП суммы неисключенных систематических погрешностей, принимаемых ха случайные на основе принципа рандомизации при условии равновероятного их распределения по формуле:

– оценки отдельных неисключенных систематических погрешностей.

Доверительная граница может быть вычислена по формуле:

- доверительный коэффициент

– граница суммарных неисключенных погрешностей результата измерения по формуле

, при числе составляющих

, при числе составляющих

Где k – коэффициент зависимости отдельных неисключенных систематических погрешностей от выбранной вероятности p при их равновероятном распределении (выбирается по таблице ГОСТ 8.207-76)

Одной из современных характеристик точности измерений является неопределенность измерений (неопределенность) – параметр, связанный с результатом измерений и характеризующий рассеяние значений, которые можно приписать измеряемой величине.

К определению, взятому из международного метрологического словаря (VIM), приведены примечания, из которых следует, что таким параметром может быть стандартное отклонение (или число, кратное ему) или половина интервала, имеющего указанный доверительный уровень (доверительного интервала).

Неопределенность, как правило, состоит из множества составляющих. Некоторые из этих составляющих могут быть оценены экспериментальными стандартными отклонениями в статистически распределенной серии результатов измерений (оценивание неопределенности по типу А).

Другие составляющие, которые также могут быть оценены стандартными отклонениями, базируются на данных, приведенных в некоторых информационных источниках (оценивание неопределенности по типу B).