Метод простых итераций.

СЛАУ называется выражение вида

A·x=b, (1)

Где А – квадратная матрица вида:

Х – вектор – столбец:

b – вектор – столбец с компонентами:

С учетом этих обозначений (1) можно записать в виде:

(1)

Приведём систему (1) к виду

x= C ·x + β, (2)

где с ij = - aij /aii, βi =bi /aii.

Суть алгоритма состоит в следующем:

1. Выбирается начальное приближение x0,

2. Строится последовательность приближений (итераций) x1, x2, x3,…. по формуле:

xk= c·xk-1 + β, k=1,2,3,…. (3)

Более подробно формулу (3) можно записать в виде:

В векторном виде эта формула имеет вид:

x1 = С·x0 +β

x2 = С·x1 +β

…………….. (4)

xk+1 = С·xk +β

……………….

Теорема 1. Если последовательность приближений x0 , x1,x2, …, xn, … имеет предел :

x= lim xk,

k→∞

то этот предел является решением системы (2).

Док-во. Перейдём к пределу в выражении (4):

lim xk+1 = β + lim С·xk,

k→∞ k→∞

X=С·x + β, ч. т. д.

Теорема 2. Если ||C||<1 (C – матрица системы (2)), то система линейных уравнений (1) имеет единственное решение x и итерации (последовательные приближения) (4) сходятся к единственному решению со скоростью геометрической прогрессии.

Под нормой матрицы ||С|| в теореме 2 понимается выражение вида:

(5)

Метод Зейделя

При вычислении (k + 1) - го приближения решения x учитываются вычисленные на текущей итерации компоненты вектора xk .

Пусть дана СЛАУ в виде:

xk= α*xk-1 + β. (6)

Выберем начальное приближение решения x0. Пусть k – ое приближение xk известно, тогда (k + 1) – ое приближение ищется так:

x1k+1= β1 + α12*x2k + α13*x3k +…+ α1n*xnk

x2k+1= β2 + α21*x1k +1 + α23*x3k +…+ α2n*xnk

………………………….. (7)

xnk+1= βn + αn1*x1k+1 + αn2*xnk+1 +…+ αnn-1*xn-1k+1

k=0,1,2,….

Пример. Рассмотрим СЛАУ:

10x1 + x2 + x3 = 12

2x1 + 10x2 + x3 = 13

2x1 + 2x2 + 10x3 = 14.

Приведём систему к виду (6):

x1 = 1,2 – 0,1x2 – 0,1x3

x2 = 1,3 – 0,2x1 – 0,1 x3

x3 = 1,4 – 0,2x1 – 0,2 x2

За нулевое приближение возьмём:

x10 = 1,2, x20 = 1,3, x30 = 1,4.

Подставим эти значения в выражение (7):

x11 = 1,2 – 0,1*1,3 – 0,1*1,4 = 0,93

x21 = 1,3 – 0,2 * 0,93 – 0,1*1,4= 0,974

x31= 1,4 – 0,2*0,93 – 0,2*0,974 = 1,0192