Вопрос 10. Решение невырожденных линейных систем.

1.Пусть дана система п линейных уравнений с n неизвестными

или в матричной форме А x = b, где основная матрица А такой системы квадратная. Определитель этой матрицы называется определителем системы.Если определитель системы отличен от нуля (det A 0 ), то система называется невырожденной.

Вопрос 11. (Матричный метод решения систем линейных урав-

нений).

Вопрос 12.Формула Крамера.Ранг матрицы

1. (Правило Крамера). Если определитель матрицы

системы (1.8.1) не равен нулю, то система n линейных уравнений с n неизвестными имеет единственное решение, которое может быть получено по следующим формулам:

–определитель матрицы A.

2. Формулы

называются формулами Крамера

3.(Ранг матрицы) Рассмотрим матрицу А размера m n

Выделим в ней k строк и k столбцов (k = min (m, n )). Из элементов,

стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k-того порядка. Все такие определители называются минорами этой матрицы. В матрице А пунктиром выделен минор k-того порядка.

4. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Обозначается r, r(А) или rang А. Очевидно, что 0 r min (m; n), где min (m; n) – меньшее из чисел m и n.

5. Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров.

6. Свойства ранга матрицы:

1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.

2. Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не

изменится.

3. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях

матрицы.

13. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

14 Теорема Кронекера-Капелли

Теорема 1.10.1. (критерий совместности неоднородной системы).

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только

тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной

матрицы rang Arang A b.

Примем ее без доказательства.

Правила практического разыскания всех решений совместной систе-

мы линейных уравнений вытекают из следующих теорем.

Теорема 1.10.2. Если ранг совместной системы равен числу неизвест-

ных ( rang Arang A b= n), то система имеет единственное решение.

Теорема 1.10.3. Если ранг совместной системы меньше числа неиз-

вестных, то система имеет бесчисленное множество решений.

Теорема 1.10.4. Общее решение неоднородной системы равно

сумме некоторого частного решения неоднородной системы и общего

решения однородной.

15 Однородные системы уравнений

Теорема 1.11.1. Для того чтобы система однородных уравнений

имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг r ее ос-

новной матрицы был меньше числа n неизвестных, т.е. r < n.

Теорема 1.11.2. Для того, чтобы однородная система n линейных

уравнений с n неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и

достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю, т. е. = 0.