Билет 6

1) случайной величиной называется переменная величина, которая в результате опыта может принимать то или иное числовое значение. Среди случайных величин выделяют дискретные и непрерывные случайные величины.Дискретной случайной величиной называется случайная величина, которая в результате испытания принимает отдельные значения с определёнными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным и бесконечным. Примеры дискретной случайной величины: запись показаний спидометра или измеренной температуры в конкретные моменты времени.Непрерывной случайной величиной называют случайную величину, которая в результате испытания принимает все значения из некоторого числового промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Пример непрерывной случайной величины: измерение скорости перемещения любого вида транспорта или температуры в течение конкретного интервала времени.

2) ДИЭЛЕКТРИКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ Диэлектриками называют тела, не проводящие электрического тока.Термин <диэлектрик> введен М. Фарадеем для обозначения веществ, через которые проникают электрические поля, в отличие от металлов, внутри которых электростатического поля нет. К диэлектрикам относят твердые тела, такие, как эбонит, фарфор, жидкости (например, чистая вода), газы. Условно выделим три класса диэлектриков: 1) с полярными молеку¬лами; 2) с неполярными молекулами; 3) кристаллические.К первому классу принадлежат такие вещества, как вода, нитро¬бензол и др. Ко второму классу диэлектриков относят такие вещества (напри¬мер, водород, кислород и др.), молекулы которых при отсутствии электрического поля не имеют дипольных моментов. Третий класс - кристаллические диэлектрики (например, NaCl), решетка которых состоит из положительных и отрицательных ио¬нов. Все эти процессы, происходящие в разных диэлектриках, нахо¬дящихся в электрическом поле, объединяют общим термином поляризация, т.е. приобретение диэлектриком полярности.

Для первого класса диэлектриков характерна ориентационная поляризация, для второго - электронная, т.е. смещение главным образом электронов, для третьего - ионная.

Такая классификация условна, так как в реальном диэлектрике могут одновременно существовать все виды поляризации.Изменение напряженности электрического поля, в котором находится диэлектрик, будет влиять на состояние его поляризации. Для оценки состояния поляризации диэлектрика вводят величину, называемую поляризованностъю, среднее значение которой равно отношению суммарного электрического момент элемента диэлек¬трика к объему этого элемента:Ре = ∑ Pi/V Единицей поляризованности является кулон на квадратный метр(Кл/м2).При поляризации диэлектрика на одной его поверхности (грани) создаются положительные заря¬ды, а на другой - отрицательные. Эти электрические заряды называют связанными, так как они принад¬лежат молекулам диэлектрика (или кристаллической решетке при ионной поляризации) и не могут перемещаться в отрыве от молекул или быть удалены с по-верхности диэлектрика в отличие от свободных зарядов, которых в идеальном диэлектрике нет.При возрастании напряженности электрического поля упорядо¬чивается ориентация молекул (ориентационная поляризация), увеличиваются дипольные моменты молекул (электронная поляри¬зация), а также происходит смещение <подрешеток> (ионная поля¬ризация) - все это приводит к увеличению поверхностной плот¬ности асв связанных электрических зарядов.ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТВ кристаллических диэлектриках поляризация может возникнуть при отсутствии электрического поля при деформации. Это явление получило название пьезоэлектрическою эффекта (пьезоэффекта).Различают поперечный пьезоэффект и продольный. Пьезоэлектрический эффект обусловлен деформацией элемен¬тарных кристаллических ячеек и сдвигом подре-шеток относительно друг друга при механичес¬ких деформациях. Поляризованность при не¬больших механических деформациях пропор¬циональна их величине. Пьезоэффект возникает в кварце, сегнетовой соли и других кристаллах, в которых элементарная ячейка решетки не имеет центра симметрии.Оба пьезоэффекта - прямой и обратный - применяют в тех случаях, когда необходимо преобразовать механическую величину в электрическую, или наоборот.Так, прямой пьезоэффект используют в медицине - в датчиках для регистрации пульса, в технике - в адаптерах, микрофонах и для измерения вибраций, а обратный пьезоэффект - для создания механических колебаний и волн ультразвуковой частоты.

Существенный пьезоэффект возникает в костной ткани при наличии сдвиговых деформаций.Причина эффекта - деформация коллагена - основного белка со¬единительной ткани. Поэтому пьезоэлектрическими свойствами обладают также сухожилия и кожа. При нормальной функциональ¬ной нагрузке, а также при отсутствии дефектов в строении кости в ней существуют только деформации сжатия — растяжения и пьезо¬эффект отсутствует. Когда что-то ненормально и возникает сдвиго¬вая деформация, то возникает пьезоэффект. МАГНИТНЫЕ МОМЕНТЫ ЭЛЕКТРОНА, АТОМА И МОЛЕКУЛЫОпыт показывает, что на пробную рамку с током в магнитном поле действует момент силы М, зависящий от ряда фак¬торов, в том числе и от ориентации рамки. Максимальное значение Мпах зависит от магнитного поля, в котором находится контур, и от самого контура: силы тока /, протекающего по нему, и площади 5", охватываемой контуром, т. е.Мтх ~IS. ВеличинуРм = IS называют магнитным моментом контура с током. Таким образом,Mmax ~ рк. Магнитный момент - векторная величина. Для плоского контура с током вектор рт направлен перпендикулярно плоскости контура и связан с направлением тока /правилом правого винта. Магнитный момент является характеристикой не только контура током, но и многих элементарных частиц (протоны, нейтроны, электроны и т.д.), определяя поведение их в магнитном поле.

Единицей магнитного момента служит ампер-квадратный метр (А-м2). Магнитный момент элементарных частиц, ядер, атомов и молекул выражают в особых единицах, называемых или атомным (µб)> или ядерным (µя), магнетоном Бора:µб = 0,927-10-23 А-м2 (Дж/Тл), µя = 0,505-10-26 А-м2 (Дж/Тл).НАПРЯЖЕННОСТЬ МАГНИТНОГО ПОЛЯ. ЗАКОН БИО -САВАРА - ЛАПЛАСА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

Отношение Н = В/µ = B/µгµ0 где µг и µ – относительные и абсолютные магнитные проницаемости. называют напряженностью магнитного поля. Она не зависит от свойств среды, а определяется только силой тока, протекающего по контуру, и геометрией опыта: формой контура и его расположением относительно точки А. Векторы Н и Б совпадают по направлению.Напряженность магнитного поля, созданного постоянным током, можно вычислить, используя закон Био — Савара — Лапласа.Ж.Б. Био и Ф. Савар установили этот закон, экспериментально опреде¬лив действие токов различной формы на магнитную стрелку. П.С. Лаплас проанализировал данные, полученные Био и Саваром, и нашел, что напря¬женность магнитного поля любого тока слагается из напряженностей полей, создаваемых его отдельными элементами.закон Био — Савара — Лапласа: dH=k Idlsina/r2

3) Все виды, ионизирующих излучений могут быть сгруппированы в квантовые (фотонные) и корпускулярные. К квантовым относятся электромагнитные излучения — тормозное и гамма-излучение, к корпускулярным — излучения, состоящие из частиц: пучки электронов, альфа-частиц, протонов, нейтронов, отрицательных пи-мезонов.Действие излучения на организм человека начинается с физического процесса — взаимодействия излучения с веществом, т. е. с атомами и молекулами тканей. При этом взаимодействии энергия квантов и частиц расходуется на ионизацию и возбуждение атомов и молекул. В зависимости от типа излучения и величины энергии механизм взаимодействия различен.Протоны, альфа-частицы и электроны постепенно теряют свою энергию при столкновении с ядрами атомов и внешними электронами. Так как масса альфа-частиц и протонов значительна по сравнению с массой электронов атомов, с которыми они соударяются, то траектория альфа-частиц и протонов прямолинейна. Путь электрона в веществе извилист, поскольку он обладает малой массой и легко изменяет направление под действием электрических полей атомов. Поэтому всегда начальный пучок электронов в тканях имеет тенденцию к расхождению (рассеяние электронов).

ИОНИЗАЦИОННЫЕ ПОТЕРИ - потери энергии заряженной частицей при прохождении через вещество, связанные с возбуждением иионизацией его атомов. Удельные И. п. (- dE/dx), где E - кинетич. энергия частицы, называют тормозной способностью вещества. Они определяются как ср. энергия, потерянная частицей на единице длины пути. И. п. являются частью (для частиц тяжелее электрона преобладающей) общих электромагнитных потерь энергии, включающих также радиационные потери, Черенкова - Вавилова излучение ипереходное излучение .И. п. складываются из дискретных порций передач энергии атомам среды в отдельных столкновениях. В результате энергия частицы монотонно уменьшается, что приводит к её торможению, а при большой толщине вещества (или малой E)и к полной остановке. Различают полные, ограниченные и вероятные И. п. Полные И. п. отвечают любым передачам энергии в отдельных элементарных актах столкновений вплоть до максим, кинематически возможного предела T_макс. Полные удельные И. п. заряженных частиц тяжелее электрона (в г/см²) даются ф-лой Бете-Блоха:    Здесь A=0,1536 МэВ г^-1 см², z - заряд частицы в ед. заряда электрона, b~v/c (v - скорость частицы), g=(1- b²)^-1/2 - лоренц-фактор, Z и А- атомный номер( на примере)

Рис. 1. Полные удельные ионизационные потери энергии быстрых заряженных частиц тяжелее электрона в воздухе, Аl, Рb.Проникающая способность излученияВсе атомные и субатомные частицы, вылетающие из ядра атома при радиоактивном распаде: альфа, бета, n, p, гамма и т. д. - называют радиоактивными частицами, радиоактивным или ионизирующим излучением (ИИ), так как все они при прохождении через вещество:  - во-первых, приводят к его ионизации, к образованию горячих (высокоэнергетичных) и исключительно реакционно-способных частиц: ионов и свободных радикалов (осколков молекул, не имеющих заряда) и  - во-вторых, могут приводить к активации (активированию) вещества, к появлению так называемой наведённой активности, то есть к превращению стабильных атомов в радиоактивные - появлению радионуклидов активационного происхождения.Пробег альфа-частиц зависит от начальной энергии и обычно колеблется в пределах от 3-х до 7 (редко до 13) см в воздухе, а в плотных средах составляет сотые доли мм (в стекле - 0,04 мм). альфа-излучение не пробивает лист бумаги и кожу человека. Из-за своей массы и заряда альфа-частицы обладают наибольшей ионизирующей способностью, они разрушают всё на своём пути. И поэтому альфа-активные радионуклиды являются наиболее опасными для человека и животных при попадании внутрь. Проникающая способность бета-частицИз-за малой массы (она в 1836 раз меньше массы протона) заряда (-1) и размеров бета-частицы слабее взаимодействуют с веществом, через которое им приходится лететь, но летят дальше. При этом путь бета-частицы в веществе не является прямолинейным. Поэтому говорят о их проникающей способности, которая также зависит от энергии. Проникающая способность бета-частиц, образовавшихся при радиоактивном распаде, в воздухе достигает 2?3 м, в воде и других жидкостях измеряется сантиметрами, в твёрдых телах - долями см. В ткани организма бета-излучение проникает на глубину 1?2 см. Хорошей защитой от бета-излучения является слой воды в несколько (до 10) см. Поток бета-частиц с весьма большой для естественного распада энергией в 10 Мэв практически полностью поглощается слоями: воздуха - 4 м; алюминия - 2,16 см; железа - 7,55 мм; свинца - 5,18 мм. Из за малых размеров, массы и заряда бета-частицы обладают гораздо меньшей ионизирующей способностью, чем альфа-частицы, но естественно, что при попадании внутрь бета-активные изотопы также гораздо опаснее, чем при внешнем облучении. Кратность ослабления n- и гамма-излученийНаиболее проникающими видами излучения являются нейтронное и гамма. Их пробег в воздухе может достигать десятков и сотен метров (также в зависимости от энергии), но при меньшей ионизирующей способности. У большинства изотопов энергия гамма-квантов не превышает 1?3 Мэв, хотя очень редко может достигать и больших величин - 6?7 Мэв. Поэтому в качестве защиты от n- и гамма-излучения применяют толстые слои из бетона, свинца, стали и т. п. и речь ведут уже о кратности ослабления. 

Билет7 1) Переменные величины — это такие величины, которые в условиях данного вопроса могут принимать различные значении. Постоянные величины — это такие величины, которые в условиях данного вопроса сохраняют неизменные значения. Одни и те же величины в условиях одного вопроса могут быть постоянными, а в другом переменными.Например Температура T кипения воды в большинстве физических вопросов — величина постоянная T=100°C. Однако в тех вопросах, где нужно считаться с изменением атмосферного давления, T величина переменная.Различие постоянных и переменных величин особенно часто применяется в высшей математике. В элементарной математике основную роль играет разделение величин на известные и неизвестные. Последнее сохраняется и в высшей математике, но не играет там основной роли. Переменные величины как правило обозначаются последними буквами латинского алфавита x, y, z. А постоянные — первыми a, b, c.Бесконечно малые и бесконечно большие величины.Понятие бесконечно малых и бесконечно больших величин играет важную роль в математическом анализе. Многие задачи просто и легко решаются используя понятия бесконечно больших и малых величин.Бесконечно малые. Переменная   называется бесконечно малой, если для любого   существует такое значение   , что каждое следующии за ним значение   будет по абсолютной величине меньше   .Если   - бесконечно малая то говорят, что   стремится к нулю, и пишут:   .Бесконечно большие.Переменная x называется бесконечно большой, если для всякого положительного числа cсуществует такое значение   , что каждое следующее за ним x будет по абсолютной величине больше   . Пишут:  Величина, обратная к бесконечно большой, есть величина бесконечно малая, и обратно. 

Теорема 1. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.

Доказательство. Приведем доказательство для двух слагаемых. Пусть f(x)=α(x)+β(x), где  и  . Нам нужно доказать, что при произвольном как угодно малом ε>0 найдется δ>0, такое, что для x, удовлетворяющих неравенству |x – a|<δ, выполняется |f(x)|< ε.

Итак, зафиксируем произвольное число ε>0. Так как по условию теоремы α(x) – бесконечно малая функция, то найдется такое δ₁>0, что при |x – a|<δ₁ имеем |α(x)|< ε/2. Аналогично, так как β(x) – бесконечно малая, то найдется такое δ₂>0, что при |x – a|<δ₂ имеем | β(x)|< ε/2.

Возьмем δ=min{ δ₁, δ₂}.Тогда в окрестности точки a радиуса δбудет выполняться каждое из неравенств |α(x)|< ε/2 и | β(x)|< ε/2. Следовательно, в этой окрестности будет

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)| < ε/2 + ε/2= ε, т.е. |f(x)|<ε, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции a(x) на ограниченную функцию f(x) при x→a (или при x→∞) есть бесконечно малая функция.

Доказательство. Так как функция f(x) ограничена, то существует число М такое, что при всех значениях x из некоторой окрестности точки a|f(x)|≤M. Кроме того, так как a(x) – бесконечно малая функция при x→a, то для произвольного ε>0 найдется окрестность точки a, в которой будет выполняться неравенство |α(x)|< ε/M. Тогда в меньшей из этих окрестностей имеем | αf|< ε/M= ε. А это и значит, что af – бесконечно малая. Для случая x→∞ доказательство проводится аналогично.Из доказанной теоремы вытекают:

Следствие 1. Если  и  , то  .

Следствие 2. Если  и c=const, то