Билет 1

1) Линейный коэффициент корреляции Для устранения недостатка ковариации был введён линейный коэффициент корреляции (или коэффициент корреляции Пирсона), который разработали Карл Пирсон, Фрэнсис Эджуорт и Рафаэль Уэлдон (англ.)русск. в 90-х годах XIX века. Коэффициент корреляции рассчитывается по формуле[10][8]:

где , — среднее значение выборок.

Коэффициент корреляции изменяется в пределах от минус единицы до плюс единицы[11].

ДоказательствоЛинейный коэффициент корреляции связан с коэффициентом регрессии в виде следующей зависимости: где — коэффициент регрессии, — среднеквадратическое отклонение соответствующего факторного признака[12].Для графического представления подобной связи можно использовать прямоугольную систему координат с осями, которые соответствуют обеим переменным. Каждая пара значений маркируется при помощи определенного символа. Такой график называется «диаграммой рассеяния». Свойства коэффициента корреляцииНеравенство Коши — Буняковского:если принять в качестве скалярного произведения двух случайных величин ковариацию , то норма случайной величины будет равна , и следствием неравенства Коши — Буняковского будет:Коэффициент корреляции равен тогда и только тогда, когда X и Y линейно зависимы (исключая события нулевой вероятности, когда несколько точек «выбиваются» из прямой, отражающей линейную зависимость случайных величин):где . Более того в этом случае знаки и k совпадают:Если X,Y независимые случайные величины, то . Обратное в общем случае неверно.

2) Повторяющиеся движения или изменения состояния называют колебаниями. Всем колебаниям независимо от их природы присущи некоторые общие закономерности. Колебания распространяются в среде в виде волн. Среди различных видов колебаний наиболее простой формой является гармоническое колебание, т.е. такое, при котором колеблющаяся величина изм-ся в зависимости от времени по закону sin или cos. Гармонические колебания совершают: 1)пружинный маятник(изм-ие упругой силы, согласно закону Гука, пропорц-но изм-ю длины пружины или смещению х точки: F=-kx), 2) Математический маятник. На материальную точку действуют сила натяжения Fн нити и сила тяжести mg. Их равнодействующая равна F =-kx, где k=mg/l, -kx=m(d2x/dt2),

Решение дифференциального уравнения второго порядка приводит к гармоническому закону x = А cos (ωt + φ0)- уравнение гармонического колебания. Здесь х – смещение тела от положения равновесия, А – амплитуда колебаний, т. е. максимальное смещение от положения равновесия, ω – циклическая или круговая частота колебаний, t – время. Величина, стоящая под знаком косинуса φ = ωt + φ0 называется фазой гармонического процесса. При t = 0 φ = φ0, поэтому φ0 называют начальной фазой. Минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения тела, называется периодом колебаний T. Амплитуда и начальная фаза колебаний определяются начальными условиями движения, т.е. положением и скоростью материальной точки в момент t=0. ω определяет частоту колебаний системы и показывает, от каких факторов эта частота зависит: упругости и массы пружинного маятника в одном примере, длины нити и ускорения свободного падения — в другом. Период колебаний может быть найден из формулы T=2π/ω 0, период пружинного маятника: . период математического маятника: Физическая величина, обратная периоду колебаний, называется частотой колебаний: ν= 1/T Частота колебаний показывает, сколько колебаний совершается за 1 с. Единица частоты – герц (Гц). Частота колебаний связана с циклической частотой ω и периодом колебаний T соотношениями: ω=2πν.

Скорость

Ускорение Колебания, происходящие в системе при отсутствии внешних воздействий после какого-нибудь начального отклонения ее от состояния равновесия, называются свободными или собственными. Если в системе отсутствует переход механической энергии в другие ее виды (консервативная система), то свободные колебания будут незатухающими.

Полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют только консервативные силы, остаётся постоянной.Классическим примером этого утверждения являются пружинный или математический маятники с пренебрежимо малым затуханием. существуют три основных фактора, определяющих процесс свободных колебаний систем, - масса, жесткость и демпфирование

Эффект затухания колебаний объясняется наличием трения; иногда его называют демпфированием. чаще используются чисто механические методы демпфирования.

3) Аберрации оптических систем (лат. — отклонение) — искажения, погрешности изображения, вызванные несовершенством оптической системы. Аберрациям, в разной степени, подвержены любые объективы, даже самые дорогие. Считается, что чем больше диапазон фокусных расстояний объектива, тем выше уровень его аберраций.Сфери́ческая аберра́ция — аберрация оптических систем; нарушение гомоцентричности пучков лучей от точечного источника, прошедших через оптическую систему без нарушения симметрии строения этих пучков (в отличие от комы и астигматизма). Расстояние δs' по оптической оси между точками схода нулевых и крайних лучей называется продольной сферической аберрацией.Диаметр δ' кружка (диска) рассеяния при этом определяется по формуле

,где2h1 — диаметр отверстия системы;a' — расстояние от системы до точки изображения;δs' — продольная аберрация.Для объектов расположенных в бесконечности ,где f' — заднее фокусное расстояние.Для наглядности сферическую аберрацию, как правило, представляют не только в виде таблиц, но и графически. Световые лучи, проходящие сквозь линзу вблизи оптической оси (ближе к центру), фокусируется в области В, дальше от линзы. Световые лучи, проходящие сквозь краевые зоны линзы, фокусируются в области А, ближе к линзе. Таким образом, получается, что края линзы имеют более короткое фокусное расстояние, чем це Хроматические аберрации (ХА) — явление вызванное дисперсией света проходящего через объектив, т.е. разложением луча света на составляющие. Лучи с разной длиной волны (разного цвета) преломляются под разными углами, поэтому из белого пучка образуется радуга.нтр. Хроматические аберрации приводят к снижению чёткости изображения и появлению цветной «бахромы», особенно на контрастных объектах. Астигматизм (от греч. а — отрицательная частица и stigme — точка), недостаток оптической системы, получающийся вследствие неодинаковой кривизны оптической поверхности в разных плоскостях сечения падающего на неё светового пучка. Сферическая волновая поверхность после прохождения оптической системы деформируется и перестаёт быть сферической. Астигмати́зм (медицина) — дефект зрения, связанный с нарушением формы хрусталика, роговицы или глаза в результате чего человек теряет способность к чёткому видению. Оптическими линзами сферической формы дефект компенсируется не полностью. Если астигматизм не лечить, он может привести к косоглазию и резкому падению зрения. Без коррекции астигматизм может вызвать головные боли и резь в глазах. Поэтому очень важно регулярно посещать врача-офтальмолога. Цилиндрические линзы по форме напоминают автомобильную шину, искривленную в одном направлении больше, чем в другом Световая микроскопия основывается на законах геометрической оптики и волновой теории образования изображения, в качестве освещения используются естественный или искусственные источники света. Классический микроскоп представляет собой штатив с подвижным тубусодержателем, осветителем и предметным столиком. Прикрепленный к ним тубус (полая трубка) оснащен системой линз. К предметному столику снизу прикреплено зеркало. Изменяя положение осветителя, зеркала и рабочей поверхности предметного столика с помощью специальных вентилей, можно добиться точной фокусировки световых лучей на исследуемом объекте и появления отчетливого изображения в объективе. На нижнем конце тубуса имеются 2-3 подвижных объектива с разной степенью увеличения, на верхнем конце - окуляр. Световая микроскопия подразделяется на фазовоконтрастную, интерференционную, поляризационную, люминесцентную, инфракрасную, стереоскопическую и основана на использовании различных свойств света и изучаемого объекта