§ 2. Геометрические приложения производной

2.1. Теорема. Если кривая задана уравнением , то значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной к кривой в точке : , где ( рис.1).

Рис. 1.

2.2. Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид:

или .

2.3.Определение. Углом между двумя кривыми в точке их пересечения называется угол между касательными к кривым в этой точке.

Угол между двумя прямыми с угловыми коэффициентами и находится по формуле:

,

причем знак “плюс” соответствует острому углу , а знак “минус”— тупо-

му.

Если , то касательные — взаимно перпендикулярны, а кривые называются ортогональными.

2.4. Пример.Найти уравнение касательной к графику функции , которая параллельна прямой . Сделать чертеж.

Решение. График функции — парабола. Так как при , , то вершиной параболы является точка (2; –1). По условию, касательная к параболе и данная прямая с уравнением параллельны; значит их угловые коэффициенты равны: k₁ = y′₁ =

, , . Следовательно, x₀ = 3 — абсцисса точки касания параболы и прямой , — ее ордината. Таким образом, уравнение касательной имеет вид: (рис. 2).

Рис.2

Задание 2. Найти уравнение касательной к графику функции

y = f ( x), проходящей параллельно прямой. Сделать чертеж.

1. y = x² – 4x + 3, y= – 4x – 4. 2. y = x² –5x + 4, y = 3x + 1.

3. y = x² – 2x – 3, y = 2x + 2. 4. y = x² – 6x + 8, y = 2x + 3.

5. y = – x² – 2x + 3, y = 2x + 1. 6. y = x² + 2x – 3, y = 4x – 1.

7. y = x² + 8x – 9, y = 2x + 1. 8. y = x² + x, y = x – 3.

9. y = x² – 4x + 3, y = 2x + 4. 10. y = x² – 6x + 8, y = 4x + 1.

11. y = x² – 2x – 3, y = 4x –1. 12. y = x² + 8x – 9, y = 4x.

13. y = x² – 5x + 4, y = x + 3. 14. y = – x² – 2x +3, y = – 6x + 4.

15. y = x² – 4x + 3, y = 4x + 4. 16. y = x² + 2x – 3, y = – 4x + 2.

17. y = x² – 6x + 8, y = 6x + 1. 18. y = x² – 2x –3, y = 6x + 3.

19. y = – x² – 2x + 3, y = – 2x – 2. 20. y = x² – 5x + 4, y = – 3x – 1.

21. y = – x² + 4x, y = 2x . 22. y = x² + 8x – 9, y = – 2x + 1.

23. y = x² – 8x – 9, y = – 6x. 24. y = – x² – 2x + 3, y = 4x –3.

25. y = x² – 5x + 4, y = – x – 2. 26. y = x² + 8x – 9, y = 6x.

27. y = x² + 2x – 3, y = 2x – 2. 28. y = x² – 6x + 8, y = – 4x + 2.

29. y = x² – 4x + 3, y = 6x – 6. 30. y = x² – 2x – 3, y = – 4x +2.

§3. Дифференцирование функций, заданных параметрически

3.1. Если функция задана параметрически двумя уравнениями , , , то ее производные вычисляются по формулам:

, .

Примечание. Производные по аргументу иногда, следуя Исааку Ньютону, обозначают точками наверху: , , . В этих обозначениях формулы, по которым находятся производные параметрически заданной функции, принимают вид:

, .

3.2.Пример 1. Найти и , если функция задана параметрически:

.

Решение.Последовательно находим производные: , ; , ;

, .

3.3.Пример 2.Написать уравнение касательной к кривой

в точке t₀ = .

Р е ш е н и е. Уравнение касательной ищем в виде: у – у₀= k ( x – x₀ ),

где x₀ = t₀ cos t₀ – 2sin t₀ = –­­ 2; у₀ = t₀ sin t₀ + 2 cos t₀= . Найдем k = = при t = t₀. Так как = cos t – t sin t – 2 cos t = t sin t cos t, =sin t + t cos t–

–2sin t= t cos t – sin t , то , поэтомy k = = при t = и уравнение касательной имеет вид:

у .