9. Понятие о распределении Пирсона. (хи2)

Р-м Хi = Х1….Хн - нормальные независимые СВ

М(Хi) = 0 M(Х1)=М(Х2)= …. = М(Хн) = 0

D(Хi) =1 D(X1)=D(X2)= …. = D (X2) =1

Тогда хи² = ∑Хi² хи² = Х1² +…+Хн² с к=н степенями свободы. (есди ∑х =nX то к=n-1 )

Распределение Пирсона – это плотность распределения СВ хи²

Зависит только от объема выборки n. n  ∞ тогода хи²  к НЗР

М(хи²)=n

D(хи²)=2n

S² = n/(n-1) * ∑[(Хв-Xi)²/n] M[Хв-Xi] = Мх-Мх = 0

Хи² = S² (n-1) / σ_x²

10. Доверительный интервал для мат ожидания и дисперсии. Схема их определения. Приближенное построение доверительных интервалов.

Х1…хн – выборка. Мх-? σ-? Неизвесты.

Средневыборочные значения:

М* = Хв = ∑х/n ; S² = 1/(n-1) * ∑(х-Хв)² постоить доверительный интервал для этих оценок.

, т.е. необходимо найти такое ∆-? , чтобы Р(|Хв-m| < ∆) = β

| Хв-m| < ∆ (жомножим это на √(n/S²)) получаем t= (√(n) / S ) * | Хв-m| ; |t| = ∆ * √(n/S²) =t_β

тогда Р((|Хв-m| < ∆) = β => Р(|t| < t_β) = β ; t – по з-ну Стъюдента, f(t) –известно.

Доверительный интервал для Dх. Схема определения.

Приближенное построение доверительного интервала.

В основе лежит возможность применения предельных теорем теории вероятности. При достоточно больших n. на практике установлено, что при n>20 з-н распределения суммы величин можно считать практически нормальным.

11. Статистическая проверка статистических гипотез. Нулевая и конкурирующая гипотезы. Виды ошибок. Общая логическая схема решения задачи.

Статистическая гипотеза– предположение о виде з-на распределении СВ или величины неизв параметра известного з-на распределения.

Стат проверка стат гипорез– процедура обоснованного сопоставления с помощью того или иного критерия, высказанной гипотезойH0 с экспериментальными данными.

H0– выдвинутая гипотеза

H1– конкурирующая / альтернативная Н0 зипотеза

Цель стат проверки: установить факт: не противоречит ли Н0 экспериментальным данным.

При проверки можно допустить 2 ошибки:

Ошибку 1 рода- непринятие верной гипотезы (непринятие истины)

Ошибку 2 рода– принятие неверной гипотезы (принятие лжи)

α – вероятность совершить ош 1 рода (уровень значимости)

β – вероятность совершить ош 2 рода1-α ≠ β

Общая логическая схема решения задачи.

1.сформулироватьН0иН1

2.формирование критерияк= f_n(х1…xn)-CВ , т.к. х1…зн - СВ

Обязательное условие: з-н распределения СВ к=f(к) – плотность распределения критерия – должен быть хорошо изучен и затабулирован в предположительной справедливости Н0.

Принцип постоения к: величиной критерия к определяется мера расхождения имеющихся выборочных данных с высказанной Н0.

3. Задание еличины уровня значимостиα

Α зависит от потерь, которые получ при отвергании правильной гипотезы. Чем ↑ потери , тем ↓ α.

α чаще всего = 0,1 0,05, 0,025 0,005

4.из табл, где затабулированf(k),с опр α находим точки. Эти точки разделяют область возможных знач критерия на 2 или 3 части. Они называютсякритические точки. (в зависимости от Н1)

Критические области, ее образуют знач к, при которых отвергается Н0 где

1 – область малых знач, 2- правдоподобных Знач. 3 – область больших значений

5.вf_n(х1…xn)подставляем выборочные зная СВ

а) Кнабл в 2 область – принимается Н0

б) Кнабл в 1 или 3 область – отвергается Н0