6. Метод макс правдоподобия. Определение неизвестных параметров нормального закона Пуассона.

Для точечной оценки неизв параметров распредел.

В. Дискретные СВ

Х – дискретная СВ; х1…хн – знач, которые принимает Х в рез-те н опытов; н – кол-во опытов;

- неизв параметр опр з-н (вид з-на задан); р(х_i;) – вероятность того, что в рез-те испытаний величина Х примет знач х_i(i=1,2,…н)

L(х1,х2,….,хн; )=р(x1; )…..р(xn; ), где х1…хн – фиксированные числа.

*- точечная оценка параметра.*=* (х1…хн) при знач которогоLдостигаетmax

Метод нахождения*

1) найти 1ую производную dlnL/d

2) приравнять производную к 0, найти критические точки (корень полученного уравнения)

3) найти 2ую производную d²lnL/d²

Если 2ая производная при =* отрицательна, то => * - т.max

и => * - оценка наоб правдоподобия параметра

Определение неизвестных параметров норм з-на Пуассона

P_m(Х=х_i)= , где м- число сделанных испытаний, х – число появления события вi-ом опыте (i=1,2…н); (1 опыт состоит из м испытаний). Требуется определить λ-?

Решение.

1=λ

1) L(х1,х2,….,хн; )= L(х1,х2,….,хн; λ)= р(x1; )…..р(xn; )=

=> L =

2) ln L = (∑x)*ln L – n*λ – ln(x1!x2!...xn!)

3) dln L / d λ = ∑x / λ – n = 0 из этого выражаем λ λ= ∑x/n = Хв

4) d²lnL / dλ² = -∑x / λ² (при λ=Хв ) <0 => λ=Хв – t. max => λ*=Хв –оценка параметра λ з-на Пуассона.

7. Метод моментов. Примеры оценки по методу моментов.

Для точечной оценки параметров распределения.

Суть: приравнивание опр кол-ва выборочных моментов р-мого распределения к соотв кол-ву теоритических моментов того же порядка. В качестве моментов р-мся нач и центральные моменты.

Начальные моменты

Теоретические

Эмпирические

Центральные моменты

Теоретические

Эмпирические

f(x;θ) – вид плотности распределения – задан. θ – неизвестный параметр, определяющийf(x;θ)

нужно найти точечную оценку θ θ*=ψ(х1…хн)

Приравниваем:

υ1=М1 } (нач моменты)

υ1=М(Х) } => М(Х) = Хв

=> М(Х)_l= ∫ х^l *f(x;θ)dx= φ (θ) = 1/n* ∑x^l,гдеl=1,2…. – номер момента.

Примеры оценки по методу моментов

Пр1.

Показательный з-н распредел. По выборке х1…хн требуется найти оценку параметра λ-?

Показательный з-н: f(x;λ)=λ*e^-λ*x x>=0

Т.к. неизвестен всего лишь 1 параметр = > для его определения необходимо 1 ур-ие, т.е. l=1

x>=0 => ∫₀^∞ xλe^-λ*xdx= 1/λ; 1/λ= 1/n* ∑x= Хв => λ = 1/Хв ;

λ* = 1/Хв = n/ ∑x

Пр2.

Норм з-н распределения. Найти по выборкуе х1…хн неизв параметры Mx-? σ-?

По опр Мх – момент 1го порядка

Мх =

По опр Dх – момент второго порядка

Dх =

Мх* = Хв

σх* = √Dв

8. Интервальное оценивание. Доверительные интервал и вероятность. Распределение Стъюдента.

Интегральная оценка– оценка, определяется 2мя числами - концами интервала. Позволяет установить точность и надежность оценки.

Точность оценки ∆ : |θ* - θ| < ∆ , ∆>0. Чем ↓∆ , темточнееоценка.

Надежность оценка γ- вероятность, с которой осуществляется |θ* - θ| < ∆. Обычно надежность задается наперед (например: γ = 0,95 ;γ=0,99).γ = Р [θ* - ∆< θ < θ* + ∆] вероятность того, что интервал (θ*-∆; θ*+∆) заключает в себе (покрывает) неищв параметр θ равно γ.

Доверительный интервал I_β- интервал (θ*-∆; θ*+∆) , покрывающий неизв параметр θ с заданной надежностью γ. Доверительный интервал это СВ, т.к. она опр по выборке х1…зн

Доверительная надежность β– вероятность, с которой интервал накрывает θ. (надежность).

Β = Р (|θ* - θ| < ∆) β=∫ f(θ*)dθ*

Ширина βзависит отn(объема выборки) ∆0 приn∞ ; β1 при ∆∞ . интервальное оценивание используется при небольшихn.

Распределение Стъюдента.

СВ - Х распределена по НЗР, выборка х1…хн – СВ => их линейная комбинация тоже СВ Хв=1/n* ∑х

М(Хв) = 1/n* ∑М(Х) = Мх

D(Хв) = 1/n²D[∑M(X)] = 1/n²*n*Dx=Dx/n

Сформулируем величину

Если σ известно, то