2. Эффективность

Стат оценка * (x1…xn) –- эффективная, если при заданном объеме выборки оценка имеетminD(дисперсия – разброс вокруг среднего значения).D(Х)=М[Х-М(Х)]²- мат ожидание кВ отклонения С.В. от ее мат ожидания.

3. Состоятельность(при большомn)

Стат оценка * (x1…xn) – состоятельная, если приn∞ , оценкапо вероятности к истинному знач.

* (x1…xn) --------

3. Генеральная и выборочная средние. Оценка генеральной средней по выборочной.

Генеральная средняя

х_г= Если х_i – знач признака различны

х_г= Если знач признака х имеют соотв частотыN_i

Р-м величину признака Х, как СВ, возможные знач х1….хnи вероятность р=1/N

=> M(X)=

=> M(X)=X_г

Выборочная средняя

х_в=

х_в=

выборочная средняя– среднее взвешенное знач признака с весами = соотв частотам.\

Оценка генеральной средней х_г по выборочной средней х_в

Из генеральной совокупности извлечена повторная выборка объема n: х1…xn– знач признака - различны.

х_г– неизв. Требуется оценить ее по данным выборки.

В качестве оценки х_г принимается х_в =

1)убедимся, что х_в–несмещеннаяоценка, те естьM[х_в] = х_г

Хв – СВ ; х1…xn– независ слу распределения СВ Х1….Хn, т.к. эти величины одинаково распределеныу них одинаковое мат ожидание, например М(Х)=α

М(Хв)=М( ) = α

Величины х1…хnимеют то же распределение, что и генеральная совокупность => у них одинаковые мат ожидания.

М(Х)= Хг = α => М(Хв)= Хг => Хв – несмещенная оценка Хг (Чтд)

2)Хв-состоятельная оценка Хг

Т.к. СВ х1….хnимеют огранич дисперсии , то по теореме Чебышева (при ↑n=> среднее арифметическое р-мых величин (то есть Хв) стремится по вероятности в мат ожиданию (=α) каждой из величин (или к Хг, т.к. Хг=α) ).

=> при ↑nХвстремиться по вероятностиХг

3)если СВ Х подчиняется НЗР , то =>эффективнаяоценка

4. Генеральная и выборочные дисперсии. Оценка генеральной дисперсии по выборочной.

Генеральная дисперсия– среднее арифметическое кв-тов отклонений знач признака генеральн совокупности от их среднего знач Хг.

Если х1…..хн - знач признака различны, Dг =

Если х1…хн имеют соотв частоты N1….Nk,Dг =

Т.е. Генеральная дисперсия – среднее взвешенное квадратов отклонений с весами = соотв частотам.

Выборочная дисперсия– среднее арифметическое кв-тов отклонений знач признака генеральн совокупности от их среднего знач Хв.

Если х1…..хn- знач признака различны,Dв =

Если х1…хnимеют соотв частотыn1….nk,Dв =

Т.е. Выборочная дисперсия – среднее взвешенное квадратов отклонений с весами = соотв частотам.

Оценка Dг по Dв

Смещенной оценкойDг служитDв

Dв = - это оценка смещенная, т.к. М(Dв)≠Dг. М(Dв) =Dг * (н-1)/н

Несмещенная оценкаDг служитS²(исправленная выборочная дисперсия).

S²= (n-1)/n*Dв =

S² используется приn<30

Она несмещенная т.к. М(S²) =Dг

5. Метод макс правдоподобия. Опр неизвестных параметров нормального закона распределения.

Для точечной оценки неизв параметров распредел.

А. Непрерывные СВ

Х – непрерывная СВ; н-число испытаний; х1….хн – знач Х в рез-те испытаний ;

f(х) – вид плотности распределения;- параметр, определяющийf(х) – неизвестен.

Ф-ция правдоподобия Х– ф-ция аргумента:L(х1,х2,….,хн; )=f(x1; )…..f(xn; ),

где х1…хн – фиксированные числа.

В качестве точечной оценки параметра принимается такое его значение* =*(х1…хн), при котором ф-уия правдоподобия L достигнетmax.

Оценка *- оценка наибольшего правдоподобия.

Методпоиска точки ф-цииlnLаргумента:

1) найти 1ую производную dlnL/d

2) приравнять производную к 0, найти критические точки (корень полученного уравнения)

3) найти 2ую производную d²lnL/d²

Если 2ая производная при =* отрицательна, то => * - т.max

и => * - оценка наоб правдоподобия параметра

Определение неизв параметров НЗР

В рез-те испытаний Х принимает знач х1…хн. Определить Мх - ? и σ_х- ?

Решение.

1=Mx2 =σ_x

1) L=

=> L =

2) ln L = -n*ln σ_x +ln 1/ ( )ⁿ –

3) dln L / d Mx = ∑(x-n*Mx) / σ_x² =0 из этого выражаем Mx Mx= ∑x/n = Хв (∑(x-n*Mx)= ∑x–n*Mx=0)

dln L / d σ_x = -n/ σ_x + ∑(x-Mx)²/ σ_x³ = 0 из этого σ_x² = 1/n *∑(x-Mx)² = Dв

4) d²lnL / dMx² = -n/ σ_x² <0 => Mx – t. max

=> Мх* = Хв - несмещенная оценка

σ_х* =Dв – смещенная оценка