6.5. Применение метода наименьших квадратов для обработки результатов наблюдений
Метод наименьших квадратов – относится к числу очень распространенных методов обработки наблюдений. Он применяется при решении многих практических задач в биологии, физике, психологии, социологии, лингвистике.
Пусть в процессе
эксперимента получена зависимость
между значениями двух зависимых случайных
величин
.
Как правило, такая зависимость дается
в виде таблицы:
x |
|
|
|
… |
|
… |
|
y |
|
|
|
… |
|
… |
|
Предполагается,
что между значениями
и
этих величин существует функциональная
зависимость определенного вида. Требуется
найти функцию
заданного вида, которая наилучшим
образом была бы согласована с опытными
данными. Считается, что наилучшей будет
та функция
,
для которой сумма квадратов отклонений
значений
,
вычисленных по формуле
от соответствующих опытных значений
в точках
принимает минимальное значение.
Иначе говоря, надо
найти функцию
,
для которой обращается в минимум сумма
Чаще всего в качестве функции выбирают линейную или квадратичную.
1. Пусть функцией,
«сглаживающей» экспериментальную
зависимость между переменными
и
,является линейная функция
Тогда
,
а параметры
и
определяются из системы уравнений
.
(1)
Для определения
коэффициентов системы удобно составить
вспомогательную таблицу для вычисления
коэффициентов
2. Если в качестве
функции, отражающей экспериментальную
зависимость между переменными
и
,
выбрать квадратичную функцию
то система уравнений для определения
коэффициентов
будет иметь вид:
(2)
Рассмотрим конкретные задачи на применение метода наименьших квадратов.
Задачи
30(1.
45).
Предполагается, что стационарное
распределение температуры в
теплоизолированном тонком стержне
описывается линейной функцией
.
Определить константы
,
имея таблицу измеренных температур в
соответствующих точках стержня:
x |
0 |
2 |
6 |
8 |
10 |
14 |
16 |
20 |
y |
32 |
29,2 |
23,3 |
19,9 |
17,2 |
11,3 |
7,8 |
2 |
Решение. Составим
таблицу для определения коэффициентов
системы (1):
k |
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
32 |
0 |
2 |
2 |
4 |
29,2 |
58,4 |
3 |
6 |
36 |
23,3 |
139,8 |
4 |
8 |
64 |
19,9 |
159,2 |
5 |
10 |
100 |
17,2 |
172 |
6 |
14 |
196 |
11,3 |
158,2 |
7 |
16 |
256 |
7,8 |
124,8 |
8 |
20 |
400 |
2,0 |
40 |
|
76 |
1056 |
142,7 |
852,4 |
Система (1) имеет
вид:
Решая эту систему
по правилу Крамера, получим следующие
значения параметров
Таким образом, искомая линейная функция
имеет вид 
31.(2.46.)
В электрической цепи в течение 10 секунд
измеряется напряжение
с интервалом в 1 секунду. Результаты
приведены в таблице
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
12 |
11 |
10 |
9 |
9 |
8 |
8 |
7 |
7 |
6 |
Известно,
что зависимость между параметрами U
и t
линейная, т.е.
Найдите такие
значения параметров
и
при которых функция
достаточно точно отражает результаты
эксперимента.
32.
(3.47.)
В таблице приведены результаты измерения
силы звука самолета (она обозначена
и измеряется в децибелах (дб))
на различных расстояниях от точки взлета
(расстояние обозначается через
и
измеряется в км):
|
1 |
2,5 |
3 |
5,5 |
7 |
8,5 |
10 |
15 |
20 |
30 |
|
115 |
108 |
102 |
98 |
93 |
89 |
87 |
72 |
65 |
60 |
Используя метод наименьших квадратов, подберите линейную функцию, которая описывает зависимость U от S. Найдите: а) на каком расстоянии от точки взлета звук становится смертельно опасным для человека (свыше 120 децибел);
б) на каком расстоянии от аэродрома можно строить жилые помещения (менее 75 децибел), детские учреждения и больницы ( менее 50 ).
33. (4.48.) Имеются следующие данные о величине пробега автомобиля (тыс. км) и – расходе масла (л/тыс. км)
|
50 |
70 |
90 |
110 |
130 |
|
0,2 |
0,5 |
0,8 |
1,1 |
1,3 |
Полагая,
что между переменными
и
существует линейная зависимость
,
найти методом наименьших квадратов
эмпирическую формулу этой зависимости.
34.5( .49.) Имеются следующие данные о расходах на рекламу (тыс. усл. ед.) и сбыте продукции (тыс.ед.):
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
1,6 |
4,0 |
7,4 |
12,0 |
18,0 |
Предполагая,
что между переменными
и
существует квадратичная зависимость
,
найти методом наименьших квадратов
эмпирическую формулу этой зависимости.
35. (6.50.) Имеются следующие данные о переменных и , где –цена на товар (усл. ед.), а – уровень продаж (тыс. ед.):
|
3,0 |
4,0 |
5,0 |
6,0 |
7,0 |
|
200 |
160 |
120 |
90 |
80 |
Предполагая, что между переменными и существует линейная зависимость , найти методом наименьших квадратов эмпирическую формулу этой зависимости.
36. (7. 51.) Задача 6 при условии, что – мощность двигателя (л. с.) а – средний срок его эксплуатации:
|
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
|
18 |
20 |
21 |
24 |
80 |
