6.3. Понятие оценки параметров. Точечная оценка
Математическая теория выборочного метода основана на анализе случайной выборки. Введем некоторые обозначения:
– значения признака (случайной величины );
и
– объемы генеральной и выборочной
совокупностей;
и
– число элементов генеральной и
выборочной совокупностей со
значением признака
;
и
– число элементов генеральной и
выборочной совокупностей, обладающих
данным признаком.
Средние арифметические распределения признака в генеральной и выборочной совокупностях называются соответственно генеральной и выборочной средними, а дисперсии этих распределений – генеральной и выборочной дисперсиями.
Отношения
и
называются соответственно генеральной
и выборочной долями.
Все формулы сведем в таблицу
Наименование характеристики |
Генеральная совокупность |
Выборка |
Средняя |
|
|
Дисперсия |
|
|
Доля |
|
|
Генеральные
совокупности характеризуются некоторыми
постоянными числовыми характеристиками
– параметрами. Например, это параметр
в распределении Пуассона или параметры
или
для нормального распределения и т. д.
Задачей выборочного метода является
оценка параметров (характеристик)
генеральной совокупности по данным
выборки.
Обозначим
неизвестный параметр распределения,
то есть числовую характеристику
генеральной совокупности
,
через
.
Для вычисления
параметра
использовать
генеральную совокупность не представляется
возможным. Поэтому о параметре
судят по выборке, состоящей из вариант
.
Эти варианты можно рассматривать как
частные значения
независимых случайных величин
,
каждая из которых имеет тот же закон
распределения, что сама случайная
величина
.
Статистической
оценкой
неизвестного
параметра
теоретического распределения называют
всякую функцию
от результатов наблюдений над случайными
величинами
.
Поскольку –случайные величины, то и оценка ( в отличие от параметра – величины неслучайной ) является случайной величиной. Зависящей от закона распределения случайной величины и числа .
Всегда существует множество функций от результатов наблюдений , которые можно предложить в качестве оценки параметра . Например, если параметр является математическим ожиданием случайной величины , т.е. генеральной средней, то в качестве его оценки по выборке можно взять: среднюю арифметическую результатов наблюдений – выборочную среднюю, или моду, или медиану и т. д.
Точечной
называют
статистическую оценку, которая
определяется одним числом
,
где
– некоторая выборка из генеральной
совокупности.
Точечная
оценка
параметра
называется несмещенной,
если ее
математическое ожидание равно оцениваемому
параметру при любом объеме выборки:
.
Смещенной
называют
точечную оценку, математическое ожидание
которой не равно оцениваемому параметру:
.
Несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания) служит выборочная средняя:
,
где
– варианта выборки,
– частота варианты
,
– объем выборки.
Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия:
.
Эта оценка является смещенной, так как можно доказать, что
.
Для вычисления выборочной дисперсии более удобна следующая формула:
.
Если варианты
– большие числа, то для упрощения
вычислений целесообразно перейти к
условным вариантам
.
В качестве
выгодно взять число, близкое к выборочной
средней, но так как выборочная средняя
неизвестна, то число
выбирают наугад., стараясь получить
маленькие значения для вариант
.
Тогда
.
Так как при замене дисперсия не изменится, то
.
Если первоначальные
варианты
являются
десятичными дробями с
десятичными знаками после запятой, то
переходят к условным вариантам
,
где
.
При этом дисперсия увеличивается в
раз. Поэтому
.
Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия
.
Более удобна формула
.
В условных вариантах она имеет вид
,
причем, если
,
то
,
а если
,
.
8.
Из генеральной совокупности извлечена
выборка объема
:
варианта 2 5 7 10
частота 16 12 8 14
Найдти несмещенную оценку генеральной средней.
Решение. Несмещенной оценкой генеральной средней служит выборочная средняя:
.
Поэтому
=16.
9.
Из генеральной совокупности извлечена
выборка объема
:
варианта 1 3 6 26
частота 8 40 10 2
Найдите несмещенную оценку генеральной средней. ( 4)
10. Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки объема : варианта 1250 1270 1280
частота 2 5 3
Решение.
Первоначальные варианты – большие
числа, поэтому перейдем к условным
вариантам. Пусть
,
тогда
.
В результате получим:
варианта 20 0 10
частота 2 5 3
Найдем искомую выборочную среднюю:
11.
Найдите выборочную среднюю по данному
распределению выборки объема
:
варианта 1560 2600 2620 2650 2700
частота 2 3 10 4 1 (2621)
12.
По выборке объема
найдена смещенная оценка
генеральной дисперсии. Найдите несмещенную
оценку дисперсии генеральной совокупности.
Решение. Несмещенной оценка равна исправленной дисперсии:
.
13.
По выборке объема
найдена смещенная оценка
генеральной дисперсии. Найдите несмещенную
оценку дисперсии генеральной совокупности.
(5,1)
14. В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором получены следующие результаты (в мм): 92, 94, 103, 105, 106. Найти а) выборочную среднюю длину стержня; б) выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора.
Решение. а) Выборочная средняя
б) Выборочная дисперсия
.
Исправленная дисперсия
.
15. В итоге четырех измерений некоторой физической величины одним прибором получены следующие результаты (в мм): 8, 9, 11, 12. Найдите а) выборочную среднюю результатов измерений; б) выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора.
16. Ниже приведены результаты измерения роста (в см) случайно отобранных 100 студентов.
Рост |
154–158 |
158-162 |
162-166 |
166-170 |
170-174 |
174-178 |
178-182 |
|
Число студентов |
10 |
14 |
26 |
28 |
12 |
8 |
2 |
|
Найдите выборочную среднюю и выборочную дисперсию роста обследованных студентов.
Указание. Найдите середины интервалов и примите их в качестве вариант.
17. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема : 0,01 0,04 0,08
5 3 2
Решение.
Чтобы избежать действий с дробями,
перейдем к условным вариантам
.
Получим распределение
1 4 8
5 3 2
Найдем выборочную дисперсию условных вариант:
