6.2. Количественные характеристики вариационного ряда

1. Средняя арифметическая вычисляется по формуле

,

где – варианты ряда, – соответствующие им частоты или середины отрезков интервалов интервального вариационного ряда, – число неповторяющихся вариант или число интервалов, .

Для несгруппированного ряда все частоты ( ), а есть «невзвешенная» средняя арифметическая.

2. Средняя геометрическая .

Эти средние величины называют аналитическими. В статистическом анализе используются также структурные или порядковые средние. Из них наиболее широко используются медиана и мода

3. Медиана – это варианта (значение величины, признака), приходящаяся на середину ранжированного ряда наблюдений.

Для дискретного вариационного ряда с нечетным числом членов медиана равна серединной варианте, а для ряда с четным числом членов – полусумме двух серединных вариант.

Достоинство медианы как меры центральной тенденции заключается в том, что на нее не влияет изменение крайних членов вариационного ряда. Медиана предпочтительнее средней арифметической для ряда, у которого крайние варианты по сравнению с остальными оказались чрезмерно большими или малыми.

4. Мода вариационного ряда – это варианта, которой соответствует наибольшая частота.

Особенность моды как меры центральной тенденции состоит в том, что она не изменяется при изменении крайних членов ряда, т. е. обладает определенной устойчивостью к вариации признака.

Средние величины, рассмотренные выше, не отражают изменчивости (вариации) значений признака.

К показателям вариации относятся следующие характеристики.

5. Вариационный размах – разность между наибольшей и наименьшей вариантами ряда:

.

6. Среднее линейное отклонение – это средняя арифметическая абсолютных величин отклонений вариант от их средней арифметической:

7. Дисперсия вариационного ряда – это средняя арифметическая квадратов отклонений вариант от их средней арифметической:

.

Дисперсию часто называют эмпирической (или выборочной), подчеркивая, что она находится по опытным или статистическим данным.

8. Среднее квадратическое отклонение – это арифметическое значение корня квадратного из дисперсии:

.

Вычисление средней арифметической и дисперсии можно упростить, если использовать не первоначальные варианты , а новые (обозначим их через ): .

В последней формуле и – специально подобранные постоянные.

Средняя арифметическая вариационного ряда , состоящего из вариант , согласно свойствам средней арифметической, вычисляется по формуле:

.

Обозначим дисперсию этого ряда символом . Тогда из свойств дисперсии случайной величины следует, что (Здесь случайная величина связана со случайной величиной формулой ). Отсюда и .

Заменяя в этих формулах и их выражениями через варианты и упрощая полученные при этом формулы, будем иметь

и .

В этих формулах в качестве постоянной берут ширину интервала по , а в качестве – середину серединного интервала. Если серединных интервалов два (при четном числе интервалов), то в качестве следует взять середину одного из этих интервалов, например, имеющего большую частоту.

Задачи

1. Постройте полигон частот для данных вариационных рядов:

а) ; б) .

2. Постройте полигон относительных частот:

а) ; б) .

3. Постройте гистограмму частот и относительных частот по данному распределению выборки:

a)

Номер интервала	Частичный интервал	Сумма частот вариант интервала	Плотность частоты
1	[2, 7]	5
2	[7, 12]	10
3	[12, 17]	25
4	[17, 22]	6
5	[22, 27]	4

b)

Номер интервала	Частичный интервал	Сумма частот вариант интервала	Плотность частоты
1	[3, 5]	4
2	[5, 7]	6
3	[7, 9]	20
4	[9, 11]	40
5	[11,13]	20
6	[13,15]	4
7	[15,17]	6

с)

Интервал	1< <5	5< <9	9< <13	13< <17	17< <20
	10	20	50	12	8

4. Найдите выборочные средние для данных распределений выборки:

а) ; b) .

5. Найдите выборочную среднюю и выборочную дисперсию для данных выборки:

	1	2	5	8	9
	3	4	6	4	3

6. Дано распределение 50 рабочих механического цеха по тарифному разряду:

Тарифный разряд	1	2	3	4	5	6
Частота (кол. раб.)	2	3	6	8	22	9	50

а) Постройте полигон распределения рабочих по тарифному разряду;

б) Найдите медиану и моду данного распределения рабочих.

в) Найдите выборочную среднюю и выборочную дисперсию для данных выборки:

7. По заданным выборкам решите следующие подзадачи:

а) составьте вариационный ряд;

б) вычислите относительные частоты (частости) и накопленные частости;

в) постройте полигон и гистограмму вариационного ряда;

г) составьте эмпирическую функцию распределения;

д) постройте график эмпирической функции распределения;

е) найдите числовые характеристики вариационного ряда:

– среднее арифметическое,

– дисперсию,

– среднеквадратическое (стандартное) отклонение,

– моду,

– медиану.

7. 1. 2 4 2 4 3 3 3 2 0 6 1 2 3 2 2 4 3 3 5 1

0 2 4 3 2 2 3 3 1 3 3 3 1 1 2 3 1 4 3 1

7 4 3 4 2 3 2 3 3 1 4 3 1 4 5 3 4 2 4 5

3 6 4 1 3 2 4 1 3 1 0 0 4 6 4 7 4 1 3

. Начало первого интервала – 0. Длина интервалов – 1.

7.2. 0 4 2 0 5 1 1 3 0 2 2 4 3 2 3 3 0 4 5 1

3 1 5 2 0 2 2 3 2 2 2 6 2 1 3 1 3 1 5 4

5 5 3 2 2 0 2 1 1 3 2 3 5 3 5 2 5 2 1 1

2 3 4 3 2 3 2 4 2

. Начало первого интервала – 0. Длина интервалов – 1.

7.3. 3 7 4 6 1 4 2 4 6 5 3 2 9 0 5 6 7 7 3 1

5 5 4 2 6 2 1 5 3 3 1 5 6 4 4 3 4 1 5 5

3 4 3 7 4 5 6 7 5 2 4 6 6 7 7 3 5 4 4 3

5 5 7 6 6 1

. Начало первого интервала – 0. Длина интервалов – 1.