5. Два замечательных предела

Первый замечательный предел: .

Второй замечательный предел: ,

– иррациональное действительное число, которое называется числом Эйлера ( ).

Сделав замену , получим другую форму второго замечательного предела

.

С числом Эйлера связаны функции: экспонента и натуральный логарифм .

Примеры на применение замечательных пределов

8. Найти .

Первый множитель представляет собой первый замечательный предел и равен 1. Второй множитель равен . Таким образом, .

9. Найти .

Имеем неопределенность . Сделаем преобразования числителя, приводящие к первому замечательному пределу. Так как , то , и поэтому

10. Найти

Имеем неопределенность . Раскрытие такой неопределенности осуществляется с помощью второго замечательного предела. Для его применения сначала выделим целую часть дроби . Итак, . Функция является бесконечно малой при , так как . Теперь умножим показатель степени на . Тогда .

С раскрытиями других неопределенностей и вычислением пределов более сложных функций можно познакомиться в учебниках [ ] и [ ].

Задачи

Найдите пределы

42. .	43. .	44. .
45. .	46. .	47. .
48. .	49. .	50. .
51. .	52. .	53. .
54. .	55. .	56. .
57. .	58. .	59. .
60. .	61. .	62. .
63. .	64. .	65. .
66. .	67. .	68. .

3.3. Производная и некоторые ее применения

1. Понятие производной. Правила дифференцирования

Понятие производной связано с понятием приращения функции в точке.

Пусть дана функция и фиксирована точка , в некоторой окрестности которой функция определена. Для любой точки из этой окрестности разность называется приращением аргумента в точке и обозначается символом . Таким образом, и .

Также говорят, что первоначальное значение аргумента получило приращение . Вследствие этого значение функции изменится на величину

.

Э та разность называется приращением функции в точке , соответствующим приращению . Приращение функции обозначают также через символом .

Определение. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению в ней аргумента, если приращение аргумента стремится к 0 при условии, что этот предел существует и конечен.

Символически это определение записывается следующим образом:

.

Для обозначения производной также используются символы и .

Если функция в данной точке имеет производную, то она называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая в каждой точке промежутка, называется дифференцируемой на этом промежутке. При этом на промежутке определена функция, которая называется производной функцией для данной функции и обозначается символом .

Нахождение производной для данной функции называется дифференцированием этой функции.

Правила дифференцирования функций сформулированы в следующих теоремах.

Теорема 1. Если функции и дифференцируемы в точке , то

1) их сумма (разность) дифференцируема в точке и справедлива следующая формула

;

2. их произведение дифференцируемо в точке и справедлива следующая формула

.

В частности, при имеем

; .

Теорема 2. Если функции и дифференцируемы в точке и , то их частное тоже дифференцируемо в точке , и справедлива формула

.

Теорема3. Если функция дифференцируема в точке , функция дифференцируема в точке , то сложная функция дифференцируема в точке и справедлива формула

.