3. Предел сложной функции .

1. Пусть , при . Тогда, если , то

.

2. Пусть и функция f непрерывна в точке b. Тогда

.

4. Раскрытие неопределенностей различных типов

1 тип: с неопределенностью вида , где и степенные или показательные функции.

В случае степенных функций необходимо в числителе и знаменателе вынести за скобку переменную с наибольшим показателем степени среди всех слагаемых дроби. В случае показательных функций за скобку выносится наиболее быстро возрастающее слагаемое среди всех слагаемых дроби. После сокращения дроби неопределенность исчезает.

Примеры.

1. Найти предел

В числителе и знаменателе выносим за скобку в наивысшей степени, т. е. :

, так как при величины стремятся к 0 (являются бесконечно малыми).

2. Найти предел .

. Чтобы выяснить, какова наивысшая степень среди слагаемых дроби, сначала следует вынести за скобки с наибольшим показателем степени в выражениях под знаками радикалов:

= .

3. Найти .

Показательная функция при является возрастающей и при стремится к . Быстрее возрастает та функция, у которой больше основание, поэтому в нашей задаче за скобки выносим :

.

Здесь , так как ; аналогично, так как , то .

2 тип: с неопределенностью вида .

В этом случае надо числитель и знаменатель разложить на множители, среди которых обязательно будет множитель , или домножить числитель и знаменатель на одно и то же выражение, после чего сократить дробь. После сокращения неопределенность устранится.

Примеры

4. Найти .

Имеем неопределенность . Числитель и знаменатель дроби разложим на множители: числитель – по формуле сокращенного умножения , а знаменатель – по формуле , где – корни квадратного уравнения , которые находятся по формуле . Итак, ; и

= . Здесь после сокращения дроби вместо подставлено его значение -4.

5.Найти .

Имеем неопределенность . Дополним числитель до разности квадратов , а знаменатель до разности кубов . Для этого умножим числитель и знаменатель на выражения и :

.

3 тип: неопределенность вида .

Если функция, стоящая под знаком предела, является алгебраической суммой двух рациональных дробей, то неопределенность устраняется или приводится к неопределенности типа 2 после приведения дробей к общему знаменателю. Если же функция, стоящая под знаком предела, представляет собой алгебраическую сумму иррациональных выражений, то неопределенность устраняется или приводится к неопределенности типа 1 путем умножения и деления функции на одно и тоже (сопряженное) выражение, приводящее к одной из формул сокращенного умножения, например, к формуле

.

Примеры.

6. Найти .

Имеем неопределенность . Выполним вычитание, приведя дроби к общему знаменателю: .

7. Найти .

Имеем неопределенность . Умножим и разделим функцию, стоящую под знаком предела, на выражение , сопряженное выражению, стоящему под знаком радикала: .

Имеем неопределенность 1-го типа. Для ее раскрытия применяем тот же метод, что и в упражнении 2.

. При по определению модуля. Поэтому . Итак, .

Для раскрытия неопределенностей применяют также замечательные пределы