3 .2. Предел функции
Предел – важнейшее понятие математики. Это понятие опирается на интуитивное представление о процессе изменения величины и неограниченного приближения ее значений к какому-либо числу. Точное математическое определение предела сформировалось в математике лишь в начале Х1Х века. Развитие теории пределов связано с решением задач на нахождение длин кривых, площадей плоских фигур, объемов тел, определение центра их масс, установление мгновенной скорости при неравномерном движении. Решение этих задач привело к формированию на основе понятия предела новых понятий, таких как «производная» и «интеграл», и созданию важнейшего раздела математики под названием «Математический анализ».
Понятие предела функции в точке и на бесконечности
В
определении предела функции в точке
используется понятие окрестности точки.
Окрестностью точки
называют любой интервал с серединой в
этой точке.
Пусть
функция
определена вблизи точки
,
за исключением, быть может, самой этой
точки. Это означает, что в любой окрестности
точки
есть хотя бы одна точка из области
определения
функции
.
Определение1.
Число
называется
пределом функции
при
,
стремящемся к
(
),
если для любого сколь угодно малого
числа
найдется такое число
,
зависящее от
,
что для всякого числа
,
удовлетворяющего условию
,
выполняется неравенство
Если
число
является пределом функции
при
,
то пишут:
или
при
.
Символически определение 1 можно записать следующим образом:
(
).
Графическая иллюстрация определения представлена на рисунке 20.
Определение
2. Функция
называется бесконечно
малой при
,
если
.
Определение
3. Функция
называется бесконечно
большой в
окрестности точки
(т.е. при
),
если для любого сколь угодно большого
числа
найдется такое число
,
зависящее от
,
что для всех
,
удовлетворяющих условию
,
выполняется неравенство
.
При
этом пишут
.
Символически
определение 3 записывается следующим
образом:
(рис. 21).
Н
а
рисунках 21 и 23 представлены различные
случаи поведения функции вблизи точки
,
иллюстрирующие определение 3, а также
определения 4 и 5.
О
пределение
4.
(
).
Определение
5.
(рис. 23).
На рисунках 22, 24 и 25 изображены разные случаи поведения функции при и при , соответствующие определениям 6 и 7.
Определение
6.
(
)
(рис. 24).
Определение 7.
(
)
(рис. 25).
Упражнение
2. Дайте
определения и изобразите графически
следующие ситуации:а)
(рис.22); б)
;
в)
;
г)
.
Вычисление пределов непрерывных функций в точках из их областей определения
Определение 8. Если функция
1) определена в точке ,
2) имеет в этой точке конечный предел и
3) этот предел равен значению функции в этой точке:
,
(4.1)
то функция называется непрерывной в точке .
Можно показать, что любая элементарная функция непрерывна в каждой точке ее области определения. Поэтому, чтобы найти предел элементарной функции в точке из области определения, нужно в выражение функции вместо аргумента подставить его значение .
Теорема
1. Пусть
пределы функций
и
существуют, конечны и
,
.
Тогда
(
),
,
,
,
если
;
4.1)
В случае, если
,
,
4.2)
В случае, когда
и
,
.
Следует сказать, что далеко не всякая подстановка в функцию числа, к которому стремятся значения аргумента , приводит к нахождению предела. Случаи, в которых указанная подстановка не дает значения предела, называют неопределенностями. Существуют следующие виды неопределенностей:
,
,
,
,
,
,
.